Produit scalaire, endomorphisme et intégrales

[ommilandji]

Bonjour à tous, voici un exercice que j'ai du mal à résoudre :

On considère l'espace euclidien E = C⁰ ([0;1] ; R) muni du produit scalaire < ; > suivant :
Pour tout (f,g) appartenant à E² < f ; g > = intégrale (de 0 à 1) f(x).g(x) dx
On note T l'opérateur défini pour tout f de E par : Pour tout x appartenant à [0;1] T(f)(x) = intégrale (de 0 à x) f(t)dt

1) Justifier que T appartient à L(E)
Autrement dit, montrer que T est un endomorphisme de E.
Je justifie en disant que, par définition de l'intégrale, pour tout f de E et pour tout x de [0;1] on a bien intégrale (de 0 à x) f(t)dt dans R donc T(f) dans E

2) Montrer qu'il existe un unique élément de L(E) noté T* tel que : Pour tout (f,g) appartenant à E² <T(f) ; g> = <f ; T*(g)>
NB : On cherchera à définir explicitement T*(f)(x) en passant par des intégrations par parties.
Par calcul je trouve T*(f)(x) = intégrale (de x à 1) f(t)dt soit l'unique primitive de f qui s'annule en 1

3) a) Montrer que T est injectif et non surjectif
Ici je cherche à montrer que T(f) = 0 => f=0. Mon idée est de dire que pour toute fonction f dans E, [0;1] est l'ensemble des intervalles [0;x1], [x1,x2],..., [xn, 1] tel que f est de même signe sur chaque intervalle. Ainsi on a T(f)(x1) = 0 avec f de signe constant sur l'intervalle [0,x1] donc f est nécessairement nulle sur cette intervalle. Ensuite on démontre la même chose sur l'intervalle [x1,x2] avec T(f)(x2) = 0 et f déjà nulle sur [0,x1]. Par récurrence on montre que f est nulle sur [0,1]. Je sais que c'est mal posé et je suppose qu'il existe un autre moyen plus élégant et plus efficace pour le montrer mais je n'ai rien trouvé de mieux.
Pour la non-surjectivité, qui revient à montrer qu'il existe f appartenant à E telle qu'il n'existe aucune fonction g dans E vérifiant T(g)(x) = f(x) pour tout x.
J'ai du mal à trouver un contre-exemple.

b) Montrer que T ne possède aucune valeur propre.
J'ai essayé de travailler avec l'égalité montrée en 2 et le T* mais je n'arrive pas à montrer que T(f)- a . f = 0 => f = 0 (avec a constante non nulle)

4) Soit b une valeur spectrale éventuelle de T, c'est-à-dire que b Id - T soit non inversible
a) Justifier que pour tout b appartenant à R l'opérateur b Id - T est injectif
b) Montrer que pour tout b appartenant à R* l'opérateur b Id - T est surjectif
c) Que peut-on en déduire pour b ?
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[raymolk]

Pour 1), il faut surtout montrer que T est linéaire et que Tf est continue (ça n'est pas dur : ne cherche pas de complications).

Pour 2), ton calcul est juste, mais il prouve seulement l'existence : il manque l'unicité (procède par l'absurde, en utilisant les propriétés du produit scalaire qui définit une norme).

Pour 3)a), l'idée de la découpe de [0,1] (en fonction de f) est sympa, mais branlante : quelle assurance as-tu que cette découpe soit finie, ou même dénombrable ? En somme, quelle assurance as-tu qu'une telle découpe existe pour tout f (ne sous-estime pas les cas patologiques que peut contenir E).
Je n'ai pas de contre-exemple à te donner là tout de suite, mais il vaut mieux faire autrement : si deux fonctions sont égales, et qu'elles sont dérivables, leurs dérivées sont égales. Or Tf=0 et Tf est dérivable, donc…

Pour le défaut de surjectivité, pense là aussi à cette propriété de Tf d'être dérivable, dans un espace de fonctions auxquelles on demande seulement d'être continues : ça ne doit pas être trop dur de trouver une fonction de E que T n'atteint pas.

Pour 3)b), procède par l'absurde en supposant qu'il existe a et f tels que Tf = af, et dérive.

Pour 4)a), fait en 3
Pour 4)b), écrire ce que ça signifie et penser à nouveau au lien entre Tf et f exploité précédemment pour conclure.
Pour 4)c) conclure

[ommilandji]

Parfait merci beaucoup pour vos conseils, j'ai repris les raisonnements. J'ai retravaillé avec l'expression du produit scalaire pour montrer que si on T** qui vérifie les mêmes propriétés que T* alors la norme de T** - T* est nulle donc T** = T *
Tout marche bien jusqu'à 4) b). Je tombe sur une équation différentielle qui traduit la surjectivité :
f(x) = a . g(x) - intégrale (de 0 à x) g(t)dt
On peut la mettre sous la forme
f(x) = a.T'(g)(x) - T(g)(x)
Pour résoudre l'équation différentielle, je résout l'équation homogène et trouve une réponse en exponentielle. Mais je ne trouve pas d'expression pour la solution particulière. Ai-je le droit de dire simplement que le résultat de l'équation est la somme du résultat de l'équation homogène et d'une solution particulière ?
Selon moi je dois au moins justifier l'existence de cette solution.

Et pour la 4) c), je dis simplement que 0 est la seule valeur telle que lambda Id - T est non bijectif, c'est donc la seule valeur spectrale existante.

[raymolk]

Pour 4)b), tu n'as pas besoin de faire de calculs : tu aboutis effectivement à l'équation aF' - F = f, dont tu sais par Cauchy-Lipschitz qu'elle a une solution (f est continue).
Cela implique par une simple réécriture que aF' - TF' = f, c'est-à-dire qu'il existe g=F' telle que ag - Tg = f.
En fait la surjectivité de aI - T est équivalente à l'existence d'une solution pour cette edo.

Pour 4)c), oui, il n'y a que 0.

Une remarque supplémentaire : attention à quelques manques de rigueur possibles :
- quand tu dis que la norme de T**-T* est nulle, c'est un abus de langage, car on n'a pas défini de norme sur L(E) ici, mais seulement sur E.
Donc en fait, ce que tu obtiens, c'est que la norme de (T**-T*)(f) (élément de E) est nulle pour tout f, ce qui implique que (T**-T*)(f) est nulle pour tout f, ce qui implique que T**-T* est nulle.
- quand tu notes T'(g)(x), c'est aussi un abus de notation : en fait, c'est (T(g))'(x)
Si tu sais ce que tu fais, ça va, mais attention qu'un éventuel correcteur (lors d'un examen) ne se méprenne pas…

[A voir en vidéo sur Futura]

[ommilandji]

Merci beaucoup raymolk !!!