Prolongement par continuité d'une fonction

[chloe4559]

Bonjour à tous,

j'ai un exo de maths à faire pendant les vacances sur les prolongements par continuité d'une fonction avec un point de raccordement.

En effet, l'intitulé de l'exo est la fonction x ↦x^√x peut elle être prolongée par continuité en sur R^+ ? Sachant que la question d'avant était de savoir si cette même fonction était continue sur R+*.

Alors je ne sais pas si mon raisonnement est bon mais j’aimerais votre avis...

On a donc 〖lim┬(x→0+) x^√x〗⁡= lim┬(x→0-) x^√x=g(0)

Déjà je ne crois pas que je puisse écrire 0^√0

ensuite pour les limites ducout j'ai essayé de décomposer et j'ai trouvé : x^√x=e^(√x ln⁡(x))⟹lim┬(x→0)⁡〖x^α (ln⁡(x) )^β 〗=0 donc limite de g(x) quand x --> O+=limite g(x) quand x tend vers 0- = e^0=1

J'aimerais avoir votre avis sur ce raisonnement
merci d'avance...
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[raymolk]

Pourquoi parles-tu de limite lorsque x tend vers zéro par valeurs inférieures, pour une fonction qui n'est définie que pour x > 0 ? Ça n'a pas de sens.
La seule limite dont il faut que tu te préoccupes est la limite lorsque tend vers zéro par valeurs supérieures.
Donc il faut te demander si , définie pour x > 0, tend vers une limite finie quand x tend vers zéro par valeurs supérieures, ce à quoi tu as répondu correctement à la fin de ton post, en revenant à la définition de .
Tu as donc montré que g se prolonge par continuité en x = 0 en la fonction , définie par

[chloe4559]

Ah mais oui que suis-je bête ! Comme g(x) est définie sur R+ alors je ne peux pas prendre en compte les valeurs inférieures.

Par contre je ne peux pas voir la fin de votre réponse à partir de la fonction g barre.

Alors si je dis que la limite de g(x) à droite de 0 est égale à g(0) alors g est prolongeable par continuité en x=0

[raymolk]

La fin de ma réponse est une formule latex, qui doit se charger dans ton navigateur en tant qu'image, donc essaie de recharger complètement la page (en vidant le cache).
Sinon, ce que tu dis est mal formulé :
- soit, dans l'énoncé de ton problème, on t'a défini g par g(x) = x^√x pour x > 0, et g(0) = 1 : alors il faut que tu montres que g est continue à droite en 0 ;
- soit g est définie seulement pour x > 0 par g(x) = x^√x, et alors elle se prolonge en une autre fonction h (g barre dans ma réponse précédente), définie par h(x)=g(x) pour x > 0, et h(0) = 1.
On ne prolonge pas en 0 une fonction qui est déjà définie en 0, ça n'a pas de sens.
On prolonge en 0 une fonction qui n'y est pas encore définie, par un certain procédé (ici par continuité), ce qui donne une nouvelle fonction : le prolongement en 0 de la fonction précédente.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chloe4559]

OK, super merci je pense avoir compris !!