Bonjour,
Soit la fonction definie sur ]0,1[ par
f(p) = p ln(p) + (1-p) ln(1-p)
Montrer que cette fonction est prolongeable par continuité sur [0,1]
J'ai essaye de manipuler la fonction en mettant tout dans le logarithme mais quand j'essaie de trouver les limites en 0 et en 1, ca bloque, je ne trouves pas de limites finies.
Merci a ceux qui voudront bien eclairer ma lanterne !
On peut le faire directement. En effet, en 0 la partie qui "pose problème", c'est p ln(p) (l'autre terme est tout ce qu'il y a de plus défini), et réciproquement
Quelle est la limite de x ln(x) en 0? On pourra se servir de la limite de ln(t)/t en +oo
Merci de ta reponse Tryss, cela m'a permis d'avancer.
Pour la limite en 0:
En faisant une limite par composition comme tu l'as propose je trouve que la limite de f(p) est 0 quand p tends vers 0.
Pour la limite en 1:
En faisant la même méthode, je trouve que la limite de f en 1 est également 0.
Ai-je fait une erreur ou cela est il juste ?
Merci de ta reponse Tryss, cela m'a permis d'avancer.
Pour la limite en 0:
En faisant une limite par composition comme tu l'as propose je trouve que la limite de f(p) est 0 quand p tends vers 0.
Pour la limite en 1:
En faisant la même méthode, on fait tendre p vers 1- (p <1) et on se retrouve avec 1/0- qui tends vers - l'infini ?
Que se passe t'il si tu poses x = 1-p, tu écris la fonction en x et tu fais tendre x vers 0 ?Envoyé par Franz_Sark
Ok je crois avoir compris
X = 1-p
Quand p tend vers 1, X tends vers 0 et on se retrouve avec lim X ln X quand X tends vers 0 qui vaut 0.
Merci de ton aide.
Oui, tu peux aussi calculer f(1-p) et voir que c'est f(p). Donc la limite en 1 est la même que la limite en 0.
