aide sur les développements limités

[chloe4559]

Bonjour à tous,

j'ai des développements limités à faire pendant les vacances mais je ne comprend vraiment rien... J'ai réussi à en faire un sur trois mais j'ai beaucoup de mal d'autant plus que ceux qui restent sont avec des fractions.

En effet, je dois trouver le développement limité de f(x)=sqrt(1+x)/x^2 à l'ordre n=2 en 1

Je ne sais pas comment m'y prendre. Je me suis dit qu'il fallait surement déjà essayé de calculer le DL de sqrt(1+x) et celui de x^2 séparément. Mais même la je bloque. Je ne sais pas si il y a un DL pour x^2 et pour sqrt(1+x) on peut se ramener à la formule connue de (1+x)alpha mais ça c'est quand x-->0 et non vers 1. Alors je ne vois pas quel changement de variable je pourrais faire...

Pouvez vous me donner des pistes ou m'éclairer un peu svp....
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[ansset]

En effet, je dois trouver le développement limité de f(x)=sqrt(1+x)/x^2 à l'ordre n=2 en 1

Je ne sais pas comment m'y prendre. Je me suis dit qu'il fallait surement déjà essayé de calculer le DL de sqrt(1+x) et celui de x^2 séparément. Mais même la je bloque. Je ne sais pas si il y a un DL pour x^2 et pour sqrt(1+x) on peut se ramener à la formule connue de (1+x)alpha mais ça c'est quand x-->0 et non vers 1. Alors je ne vois pas quel changement de variable je pourrais faire...

Le plus simple est toujours de se ramener à un DL en 0.
Dans ton cas, on pose x=1+t
Le DL de rac(1+x) en 1 devient le DL de rac(2+t) en t=0.

[chloe4559]

oui j'ai bien compris qu'il faut toujours se ramener à un DL en 0 mais comment fait t-on dans le cas d'une fraction ?

[gg0]

Bonjour.

Tout dépend des formules dont tu disposes.
* Fraction ou pas, tu peux utiliser la formule de Taylor, donc ici, calculer les deux dérivées en 1
* tu vas avoir, par changement de variable, du (1+t)² au dénominateur, donc tu peux le traduire par une multiplication par (1+t)^(-2) et appliquer la formule générale des puissances de 1+t
* tu vas avoir aussi qui se ramène au même genre de formule :

* enfin tu as peut-être des règles de cours sur les quotients de DL.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

ou est le pb avec la fraction ?
le DL de x² en x=1 est celui de (1+t)² en t=0.
donc le DL de 1/x² en 1 est celui de (1+t)^-2 en t=0.
à la fin, il n'y qu'une multiplication à faire des deux DL.

[chloe4559]

Ah d'accord il suffit de faire f/g=f*1/g et on utilise les règles de la fonction inverse pour les DL. Je ne comprends cependant toujours pas les changements de variable...

[chloe4559]

J'ai pas trop compris ce que vous m'avez écrit gg0. Je ne comprends pas non plus vos changements de variables...

[gg0]

Heu ... tu as appris tes leçons (le cours sur les DL) ? Je n'ai fait que reprendre des résultats de cours et ce que proposait Ansset.

Quant au changement de variable pour se ramener à un DL en 0, c'est assez évident : Pour un DL en 1 on utilise le fait que x est proche de 1, donc que x-1 est proche de 0, d'où l'idée de prendre t=x-1 qui donne x = ...

NB : En général, quand on écrit "je n'ai pas trop compris.." c'est qu'on a lu rapidement et pas du tout réfléchi.

[chloe4559]

Sur le fait qu'on ait un changement de varibale pour que t tende vers 0 ça j'ai compris mais c'est que vous avez écrit racine de t+2 je ne vois vraiment pas le rapport avec les formules du cours étant donné que l'on cherche quelque chose de la forme x+1

Ps: si vous pouvez arrêtez les sous entendus et les phrases du style quand on écris ceci ca veut dire cela s'il vous plaît car j'ai appris mon cours et nous n'avons pas fait l'intégralité de celui-ci et nous n'avons pas encore tout vu nous sommes au début du chapitre. Merci d'avance. J'ai réfléchi à ce que vous avez écrit mais malheureusement je ne comprends vraiment pas. Si je demande de l'aide sur le forum c'est vraiment que je suis perdue...

[gg0]

Ansset écrivait (message #2) :

Le plus simple est toujours de se ramener à un DL en 0.
Dans ton cas, on pose x=1+t
Le DL de rac(1+x) en 1 devient le DL de rac(2+t) en t=0.

Dans le message #4, j'écris

tu vas avoir aussi qui se ramène au même genre de formule

Et c'est à moi que tu reproches l'expression qu'a signalée Ansset ?

Bon, un peu de sérieux :
* Soit tu fais directement avec la formule de Taylor et les valeurs de f(1), f'(1) et f"(1), pas si compliquées que ça à calculer
* Soit tu passes par un changement de variable et tu le fais. Tu comprendras tout de suite pourquoi on a parlé de puisque c'est toi qui l'écrira.
Et ça n'est pas 1+t, on n'y peut rien. Il y a un 2 quand on calcule, alors on accepte ce 2, on arrête de se plaindre des autres, on cherche une méthode pour se ramener à un 1+ .. Et alors miracle ! En relisant mon message #4, on voit que j'ai proposé une méthode. D'accord, ce n'est pas tout à fait 1+x, mais il est facile d'y arriver.

Bon, tu as assez perdu de temps, c'est ton exercice, on t'a aidé, il serait temps de t'y mettre.

Cordialement.

NB : Au début du chapitre, généralement il y a la formule de Taylor (ou Taylor-Young, ou ..) qui permet d'obtenir directement les DL par dérivation.

[chloe4559]

OK donc si je pose t=1+x --> x=t-1 j'ai donc comme vous l'avez indiqué dans le message 4 racine(2+t)=racine(2)(1+t/2)^1/2
Donc la je me ramène à la formule du cours qui dit que le développement limité de (1+x)^alpha quand x tend vers 0 est 1 + ax + a(a-1)/2+...+ (a(a-1)...(a-(n-1)))/nfactoriel*x^n+ o(x") (a réel donné)

Il faut donc que je fasse à nouveau un changement de variable ?

Dans tous les cas la formule de Taylor-Young fonctionne ? Car si vraiment je suis bloquée je vais faire cette méthode mais bon si je me retrouve au contrôle et que doit faire sans je vais vraiment être male !!

[ansset]

OK donc si je pose t=1+x......

non.
il s'agit dans tout les cas du DL de la formule initiale en x=1
donc tu as deux méthodes.
- soit tu appliques le dev de Taylor Young en x=1
f(x)=f(1)+xf'(1)+(x²/2)f'(1)
que ce soit pour la formule entière ou si tu fais les DL par morceaux, que tu multiplies ensuite.
-soit tu poses t=x-1( et non x+1) , ce qui ramène le ou les DL en t=0.


bref relie bien tout ce qui a été écrit plus haut.

[gg0]

Une fois le premier changement de variable fait, on va effectivement en utiliser un autre, puisque t/2 tend vers 0 donc on peut poser u=t/2 et appliquer la formule de ton cours.

Cordialement.

[gg0]

Attention Ansset, le DL en 1 est f(x)=f(1)+(x-1)f'(1)+((x-1)²/2)f"(1) + o((x-1)^2).

On n'a pas toujours les idées très claires, la nuit

Cordialement.

[ansset]

Attention Ansset, le DL en 1 est f(x)=f(1)+(x-1)f'(1)+((x-1)²/2)f"(1) + o((x-1)^2).

On n'a pas toujours les idées très claires, la nuit

Cordialement.

oui, oui, écrit dans la précipitation. shame on me.
ceci dit , c'est le genre de boulette qu'on fait vite quand on est pas en 0, ce qui justifie l'habitude raisonnable de se ramener en t=0, pour éviter cette étourderie.