petit problème de stat

[Nickelange]

Bonjour,

Ayant quitté les bancs de la fac depuis bien longtemps, je m'adresse à vous pour résoudre un petit problème de statistiques qui me turlupine:
Ma fille collectionne des petites poupées. il existe 12 modèles différents de ces petites poupées, mais il s'agit de pochettes surprises... donc on risque d'avoir un double dès le second achat et la probabilité augmente à chaque fois.
Combien faudrait-il acheter de poupées pour avoir... disons 50% de chance d'obtenir les 12 modèles différents?

Olivier
-----

[jacknicklaus]

Bonjour,

Ayant quitté les bancs de la fac depuis bien longtemps, je m'adresse à vous pour résoudre un petit problème de statistiques qui me turlupine:
Ma fille collectionne des petites poupées. il existe 12 modèles différents de ces petites poupées, mais il s'agit de pochettes surprises... donc on risque d'avoir un double dès le second achat et la probabilité augmente à chaque fois.
Combien faudrait-il acheter de poupées pour avoir... disons 50% de chance d'obtenir les 12 modèles différents?

Olivier

afin de te répondre, il faut faire une hypothèse sur la probabilité qu'une pochette contienne tell ou telle poupée. On peut imaginer que c'est 1/12 pour chaque poupée, mais en pratique ce n'est pas le cas. Les fabricants se réservent quelques poupées super rares... pour inciter à l'achat. business is business

[minushabens]

par simulation, et en supposant les poupées équiprobables, je trouve environ qu'elle doit en acheter environ 35. On peut faire le calcul exact en utilisant la loi multinomiale mais c'est une somme de termes un peu pénible à écrire.

[minushabens]

pour les amateurs, on programme ça sous R ainsi:

fu<-function(n) mean(apply(rmultinom(1000,n,rep(1/12,12))==0,2,sum)==0)

fu(n) est une estimation de la probabilité d'avoir toutes les poupées en n achats

> fu(35)
[1] 0.517
> fu(35)
[1] 0.533
> fu(35)
[1] 0.548

j'aurais pu prendre plus de 1000 répétitions pour avoir un chiffre plus stable...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Nickelange]

Merci pour vos réponses,
Effectivement dans le meilleur des cas (sans poupée rare) c'est plus du double du nombre de poupée initiale. Une bonne façon de doper ses ventes ...
Olivier

[jacknicklaus]

Si on appelle En l'espérance du nombre de poupées différentes (tirages équiprobables) après n achats, on peut trouver
.

Ca donne quelques idées :
si on veut En >= 11 poupées différentes, le nombre moyen d'achats à faire est 29
si on veut En >= 11.5, on passe à 37.

[minushabens]

tiens je trouve une formule totalement différente de la tienne, mais qui donne à peu près le même résultat.

mon raisonnement est le suivant:

au premier achat on est certain d'avoir une poupée nouvelle, donc pour la première poupée il faut 1 achat.

si on a déjà k poupées distinctes, chaque achat se traduit par un succès (la poupée est nouvelle) avec la probabilité (12-k)/12 et un échec avec la probabilité k/12. Le nombre d'achats à effectuer pour avoir une nouvelle poupée à ce stade suit donc la loi géométrique de paramètre (12-k)/12 et donc d'espérance (en comptant l'achat terminal) 12/(12-k)

l'espérance du nombre d'achat est la somme de tous ces termes: somme de k=0 à 11 de 12/(12-k), qui vaut environ 37.24

au passage on voit que l'espérance du nombre d'achats est proche de la médiane : la distribution est plus ou moins symétrique, ce qui est normal (sans jeu de mots) puisque la somme de variables aléatoires indépendantes...