Intersection de deux hyperplans

[invite0aa21a55]

Bonjour,

Soit E un Kev de dimension finie .

Soient deux hyperplans de E, on s’intéresse à .

J’ai trouvé que . Je cherche donc .

J’ai essayé de différencier des cas mais j’ai du mal. Intuitivement, j’ai essayé de voir ce qu’il se passait en dimension 2. Si l’on prend deux droites vectorielles qui n’ont qu’un point d’intersection, la dimension de la somme vaut 2 (donc n ici), si les deux droites sont confondues, la dimension de la somme vaut 1 (n-1), et je bloque dans le cas où les deux droites sont colinéaires mais non confondues. Que signifie l’espace somme dans ce cas ? C’est bien censé former un sev mais je ne vois pas lequel...

De plus, j’ai du mal à généraliser et à trouver les disjonctions de cas à considérer.

Merci d’avance !
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Si je comprend bien votre question, considérez le fait que deux sous-espaces vectoriels quelconque F et G d'un espace vectoriel E ont toujours une intersection qui est au moins l'élément neutre {0}.

Quand vous parlez du cas de deux droites colinéaires n'ayant aucune intersection, vous vous placez dans le cadre d'un espace affine et non d'un espace vectoriel.

[invite0aa21a55]

En effet, j’avais oublié qu’un ev contient toujours l’élément neutre. Dans le cas n=2, on a donc,
- si H1 et H2 sont en somme directe, on a
- sinon, les deux droites sont confondues, et on a

Et je pense que cela se généralise à n’importe quel n, en justifiant bien la dimension de H1+H2 en fonction des cas, mais je pense savoir comment faire.

Merci

[gg0]

D'une façon générale, les hyperplans sont de dimension n-1. S'ils sont distincts, leur somme est de dimension n et leur intersection de dimension n-2.

En effet, si H1 et H2 sont distincts, il existe un x dans H2 qui n'est pas dans H1. En complétant par une base de H1, on obtient une famille libre à n éléments, donc une base de E. Donc H1+H2 contient E.
NB : pas besoin de somme directe, qui n'arrive d'ailleurs que dans le cas n=2.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]