fonction beta

[invite0fb61994]

bonsoir j'aimerais que l'on m'aide à établir une formule
la fonction beta est définie dans le 1ère image je n'arrive pas a établir la formule de la 2 ème image.

beta.PNGbeta 2.png
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[gg0]

Euh ... ça ne relève pas des programmes du collège et du lycée ..

[albanxiii]

Je déplace le fil dans la rubrique du supérieur.

[jacknicklaus]

Bonjour

tu es sûr de tes formules ?
pour moi, ca ne colle pas. prendre B(1,1) par exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0fb61994]

cette formule provient de wikipedia

[gg0]

La définition intégrale est dans la page "fonction bêta" de wikipédia. Où as-tu trouvé la formule en série (nécessairement fausse) ?

[invite9dc7b526]

Que signifie l'expression (n-y n) (enfin en vertical). Si c'est le coefficient binomial ça suppose y<=0, est-ce le cas?

[Resartus]

Bonjour,
La formule figure dans la version anglaise de Wikipedia.
Et voici une démonstration :
https://math.stackexchange.com/quest...ansion/2620548

Mais elle suppose d'utiliser des valeurs négatives pour certains des coefficients du binome, ce qui n'est évidemment pas très orthodoxe...

[gg0]

Le fait que ce soit sur Wikipédia en anglais ne rend pas la série convergente pour x=y=1; son terme général ne tend pas vers 0 !

Quel est le domaine de validité de cette expression ?

Cordialement.

[invite9dc7b526]

il me semble que pour y=1 tous les termes sont nuls sauf le premier (pour n=0). Car le coefficient binomial C(n,k)=0 si k>n

[gg0]

Ah oui,

j'ai toujours du mal à lire cette notation, je suis de l'époque des Cnp.

Par contre, je en connais pas le sens des coefficients binomiaux pour des entiers négatifs. Généralement, on les considère comme nuls.

Cordialement.

[0577]

Bonjour,

Pour tout k entier positif,

Désigne habituellement le polynôme

Avec cette définition, on peut considérer x négatif, réel, complexe... Pour x entier positif, on retrouve le coefficient binomial "standard".

[0577]

J'ajoute que la première définition de B(x,y) par intégrale a un sens pour tout x et y complexes avec Re x>0 et Re y>0, alors que la deuxième définition par série a un sens pour tout x et y complexes avec x distinct des entiers négatifs et Re y>0. L'égalité entre ces deux définitions fait sens sur le plus petit domaine commun: Re x>0 et Re y>0 (la deuxième définition donne un prolongement analytique en x de la première définition. En fait, la fonction beta admet un prolongement analytique à tout x,y complexes avec x et y distincts des entiers négatifs).

[gg0]

Merci 0577 !

[jacknicklaus]

Avec cette définition, on peut considérer x négatif, réel, complexe... Pour x entier positif, on retrouve le coefficient binomial "standard".

Dans ce cas ,effectivement ca marche :

(développement du binôme et inversion licite des sommes)

or
remarque : 0 <= k <= y-1

donc

[invite0fb61994]

merci a tous pour vos aides

[0577]

Dans ce cas ,effectivement ca marche :

(développement du binôme)

Dans la généralisation du développement du binôme avec y-1 non nécessairement entier, l'indice de sommation k va de 0 à l'infini: c'est une série qui converge pour |t|<1.