Théorème de Cauchy-Lipschitz global

[invite00a84801]

Bonsoir,
Je ne comprends pas le théorème de Cauchy-Lipschitz dans sa version "globale", pouvez-vous m'aider svp ?
Je prends l'exemple que j'ai dans mon bouquin : avec , dont la solution n'est pas définie au delà de . Jusque là, OK !
Je copie/colle ici le théorème de Cauchy-Lipschitz global :

Si f est lipschitzienne par rapport à la deuxième variable (localement par rapport à la première seulement), alors toute solution maximale de est globale.

Qu'est-ce qui bugge dans ce raisonnement : je prends pour I l'intervalle ouvert ]-10,10[ et pour E l'intervalle ouvert ]-10,10[ également. Le point (t0,y0)=(0,1) est bien dans mon ensemble , f est définie sur , lipschitzienne (localement et globalement par rapport à mes deux variables), j'ai donc tout ce qu'il faut pour dire que la solution sera globale sur , non ? et donc que la solution s'étendra jusqu'à t=10. Or, ce n'est pas le cas, mais je ne comprends pas quelle hypothèse du théorème n'est pas vérifiée.

Merci de votre aide !
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[invite9dc7b526]

annulé -------------------

[invite9dc7b526]

Peut-être peux-tu considérer la fonction y(t)=10/(10-t)

[gg0]

Euh ... elle n'est pas solution de y'=y².

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

Il faut que E soit un espace de Banach pour pouvoir appliquer ce théorème (dans sa version habituelle)

[invite9dc7b526]

je me suis trompé effectivement. L'équation y'=y^2 a bien des solutions sur l'intervalle [-10,10] y(x)=1/(k-x) avec k>=10 mais on ne peut imposer y(0)=1.