Des propriétés sur les valuations p-adique.

[gg0]

je ne comprends pas pourquoi tu fais cela, qui n'est qu'une reprise de ce que tu as fait avant le message #16, et n'a aucun rapport avec la question que tu as posée alors. Je la rappelle :

Je devais faire la démonstration suivante également :


et

Cette question est mal posée, tu n'avais pas dit qui sont a, b et p. mais comme ce n'est pas , elle devrait simplement être rédigée ainsi :
Soient a et b deux entiers supérieurs à 1 (*); démontrer que

et





ce qui a été montré par Mehdi128.


(*) je ne sais pas ce que tu as vu sur le pgcd et les entiers, mais généralement on évite 0, qui est le ppcm de tous les entiers.
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[gg0]

Voici une autre démonstration :

on pose

avec pgcd(p,a')=1
avec pgcd(p,b')=1
En échangeant éventuellement les rôles de a et b, on peut supposer et donc min(k,l)=k (d'où p^k divise p^l). On veut donc démontrer :

1) p^k divise a et b, donc divise d. Donc
2) p^m divise d, donc divise a donc a = p^m a"=p^k a'. Si m>k on a en simplifiant a' = p^m-k a", avec m-k>0 ce qui contredit la définition de a'. Donc
Finalement m=k

Cordialement.

[ArnoGreg]

Merci.
Je pense que j'ai compris.
Pour la toute fin de la démonstration, j'écris que :

Si on a en simplifiant et donc .

Et comme , on ne pourrait pas avoir comme supposé. Or il y a unicité de la valuation p-adique.

C'est donc que .

Et donc finalement .

Je vais relire la démonstration de mehdi.