Arithmétique et PGCD

[DavianThule95]

Bonjour,

En relisant mes cours de début d'année (MPSI), un point m'a semblé assez obscur : On a définit le PGCD de deux manières différentes, mais je n'arrive pas à montrer leur équivalence.

1ere définition : Soient a et b deux entiers relatifs. est un sous-groupe additif de Z. Ainsi il existe un entier relatif d tel que :
. On appelle d le PGCD de a et b.

2eme définition : Soient a et b deux entiers relatifs. On appelle pgcd de a et b le plus grand diviseur commun à a et b. Ou encore :



J'arrive à montrer que 1 => 2, mais pas que 2=> 1. Pourriez-vous m'aider ? Pour être précis, en considérant d = max des diviseurs communs, j'arrive à montrer que aZ+bZ est inclus dans dZ, mais pas l'inverse.

Merci d'avance !
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[invite6710ed20]

Bonjour
Je n'ai pas regardé de près mais pour ta démonstration, j'utiliserai bien Bezout

[DavianThule95]

Mon problème, c'est que dans la démonstration de Bézout, on utilise la 1ere définition. Donc utiliser Bézout pour montrer que 2 => 1, c'est utiliser 1 pour montrer que 2 => 1

[invited7959fc2]

Je crois que la démonstration de bézout se fait en terminale et je ne crois pas qu'il y ait la définition 1 au lycée donc si t'arrives à prouver 2)=> 1) avec Bézout je pense pas qu'il y ait de problème

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

tout part de la division euclidienne. C'est comme ça qu'on montre que Z est un anneau principal, ce qui conduit à la définition 1. On peut montrer l'identité de Bezout à partir de l'algorithme euclidien.