série de Fourier (1ere année DUT)

[cosmoff]

Bonjour à tous,

Confinement oblige je revois mes cours. Et je suis intrigué par la série de Fourier. En DUT, on nous balance la formule comme ca sans nous expliquer d'ou ca sort, ce qui d'un point de vue éducative est nul !

J'ai donc en suivant des explications trouvées à droite et à gauche réussi à comprendre comment Fourier on est arrivé a ce résultat. En faite quand il trouve les formules pour les coefficient An et Bn, Fourier ne dit pas que toute fonction peut etre représentée par une somme de sinusoïde, mais il dit plutot que la série de Fourier (qu'on a déterminé avec les coefficients An et Bn) est celle dont l'erreur a été minimisé ce qui est tres différent. Donc si je prend une fonction périodique au hasard, et que je calcule les coefficients de la série de Fourier je peux juste affirmer que cette série de Fourier représente plus ou moins la fonction prise au hasard car l'erreur à été minimisé, mais en aucun cas je peux dire que la série de Fourier représente parfaitement la fonction périodique. Il me semble qu'il a fallu plus de 50 ans pour qu'un mathématicien détermine les conditions pour qu'une fonction périodique possede ou non une série de Fourier.

Quand je regarde ensuite le cheminement de Fourier, je m'interroge sur la recherche mathématique. Comment les mathématiciens trouvent de nouveaux concepts, de nouvelles formules ? Est ce qu'ils y vont un peu au pif et voient ou ca les mène ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements
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[gg0]

Bonjour.

Il faut toujours faire attention quand on lit des textes mathématiques anciens au fait que des tas de choses connues pour nous n'existaient pas il y a 2 siècles, voire même un. Fourier ne dispose pas de la théorie des séries de fonctions (elle va s'élaborer à la même époque). Il ne s'intéresse même pas à des fonctions périodiques : Il veut savoir comment la chaleur se transmet à travers un mur. Il réutilise une idée déjà présentée quelques années auparavant (par Laplace ? Je ne sais plus) d'approximer la forme d'une fonction par des sommes de sinusoïde; idée assez simple dans la théorie des cordes vibrantes, car les sinusoïdes sont des cas particulier simples de vibration. Le pas de plus qu'il fait (et ça lui sera reproché à l'époque) est de faire la même chose sur un phénomène différent (l'équation de la chaleur est très différente de l'équation des cordes vibrantes). Il justifie cela "parce que ça marche", mais la théorie de base des séries de Fourier mettra 50 ans à être à peu près fondée et percutera toute l'analyse mathématique du dix-neuvième siècle.
"Comment les mathématiciens trouvent de nouveaux concepts, de nouvelles formules ? Est ce qu'ils y vont un peu au pif et voient ou ca les mène ?" Plus ou moins, oui. Les avancées correspondent à des détours, des avancées, des retours en arrière, ... sur les idées habituelle. Mais celui qui cherche "au pif" ne trouve généralement rien. Ceux qui font progresser les maths n'y vont pas vraiment au hasard.

Pour les séries de Fourier, la théorie est maintenant très établie pour les fonctions simples (celles qu'on utilise en DUT) : La série de Fourier de la fonction f a une somme qui est une fonction g. Si f est continue en a, g(a)=f(a); si f est discontinue en a g(a) est la moyenne entre les limites à gauche et à droite en a de f.

Cordialement.

[cosmoff]

merci beaucoup gg0 pour ta réponse, je ne savais pas tout ca. Je vais regarder un peu cette histoire de transmission de chaleur à travers un mur ca m'a l'air intéressant.

[stefjm]

Voir ici : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post6128294

J'adore les livres de Bernard Gréhant et en particulier
Yin, Yang, Georg et le Mystère Spectral: Hommage à Fourier

https://books.google.fr/books?id=QeD...A9hant&f=false

C'est une lecture à la fois divertissante et instructive!

[A voir en vidéo sur Futura]

[cosmoff]

merci pour le livre