Détermination des valeurs propres sans calcul de déterminant

[Xipio]

Bonjour à tous !

J'espère ne pas enfreindre quelque règlement que ce soit en postant ce message, mais il me semble que ce sujet très précis n'a jamais été abordé (du moins, je ne l'ai pas trouvé)

Je suis en CPGE voie B/L, et le déterminant n'est pas au programme pour les matrices de taille 3.
Donc lorsqu'il s'agit de trouver les valeurs propres d'une matrice 3x3, il faut toujours un peu improviser (improvisation plus ou moins guidée selon l'esprit de l'exercice, il est vrai).
Je me demandais donc si vous pouviez me faire part de toutes vos idées de méthodologie ne faisant pas intervenir de calcul de déterminant ou de polynôme caractéristique, afin de me constituer un bagage de réflexes pour la suite

Par exemple, pour cet exercice que je suis en train de préparer, je dois trouver sans plus d'indications les valeurs propres de la matrice suivante :
( 3 0 2 )
( 0 2 0 )
( 0 1 1 )

Pardon, je maîtrise encore très peu l'insertion d'objets mathématiques...
Il me semble avoir trouvé que les valeurs propres sont 3,2,1 mais la matrice n'étant pas triangulaire, je dois être plus précis. J'ai réécrit la matrice comme la somme de la matrice identité et d'une autre matrice pour trouver les vecteurs propres de la seconde mais c'est un peu laborieux, j'imagine qu'il y a plus rapide...

Voilà, en espérant avoir publié au bon endroit et ne pas avoir posté quelque chose de déjà vu.... Merci d'avance pour toutes vos suggestions méthodologiques
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[Poincare2poin0]

Quand c'est simple de trouver les valeurs propres tu peux juste expliciter des vecteurs propres
Par exemple ici :
e1= (1,0,0) est vecteur propre pour la valeur propre 3
2e1-e2-e3 = (2,-1,-1) est vecteur propre pour la valeur propre 2
e1-e3=(1,0,-1) est vecteur propre pour la valeur 1
Et ca suffit comme justification

Une facon de voir des vecteur propre rapidement est de faire la somme des coefficients de chaque ligne de la matrice si c'est la même pour chaque ligne (elle est égale à S) alors le vecteur :
e1+e2+...+en est vecteur propre pour la valeur propre S

Ensuite pour la valeur propre 0 cela revient "simplement à calculer le noyau" ce qui peut parfois être simple dès que t'as des colonnes qui sont liées

A part ca je vois pas (peut-être que les autres verront ^^")

En espérant t'avoir aidé

[Xipio]

Merci beaucoup! Je ne connaissais pas du tout la méthode consistant à faire la somme des coefficients d'une ligne! C'est très intéressant
J'avais déjà le réflexe du noyau, d'autant que les exercices invitent souvent à en trouver une base, etc Pour ce qui est de la détermination "à vue" des vecteurs propres, j'ai déjà tendance à le faire, mais c'est sûr que quelques méthodes plus systématiques me seront d'un grand secours (comme celle que tu viens de me proposer), parce qu'avec le stress du concours on peut vite faire une erreur de calcul, proposer un mauvais vecteur propre, et laisser une très mauvaise impression même si on trouve par chance les bonnes valeurs propres... Peut-être qu'il faut que je m'entraîne à trouver rapidement des vecteurs propres

Toutes les autres suggestions seront bien évidemment les bienvenues

Il me semble d'ailleurs être déjà tombé sur un exercice (dont je ne retrouve ni l'intitulé, ni le corrigé...) pour lequel il s'agissait de réécrire la matrice de taille 3 comme produit d'un vecteur colonne et d'un vecteur ligne...Je suis sûr que la matrice était la suivante : (a réel non nul)

(1 a a²)
(1/a 1 a )
(1(a²) 1/a 1 )

Il est assez facile de trouver que C3 = aC2 =a²C1 et de l'écrire sous forme de produit d'un vecteur colonne t(1 1/a 1/a²) et d'un vecteur ligne (1 a a²) mais après...

Bref merci encore