Analyse complexe : résidus

[inviteaf93d7fd]

Bonjour,

J'aimerai que vous m'aidiez à résoudre l'intégrale de cette fonction :



À l'aide du théorème des résidus. Merci à vous de me donner des pistes.

Voici ce que j'ai déjà :
La fonction est paire donc les bornes ne posent pas problème :



Et les pôles doubles sont de la forme:



Seuls et sont dans le demi-cercle qui nous intéressent.

De plus, j'ai prouvé grâce au lemme de Jordan que l'intégrale sur le demi-cercle est nulle en passant par

Cependant à l'aide de la formule de Cauchy pour calculer le résidu, j'obtiens :


De même pour le second pôle intéressant :

Je pense que l'utilisation de cette formule nécessite une décomposition en éléments simples qui semble fastidieuse.
J'ai également trouvé la série entière de la fonction.
N'y a-t-il pas une autre solution plus subtile que je n'ai pas vu ? Car je suis bloqué à ce niveau et se lancer tête bêche dans la décomposition en éléments simples me semble une mauvaise idée.

Je vous serais reconnaissant si vous pouviez me donner des indications afin de calculer le résidus sans trop de peine. (Un peu quand même c'est normal)

Merci d'avance pour votre aide.
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[Resartus]

Bonjour,
Déjà, cela simplifierait beaucoup de faire le changement de variable y=x/a avant toute autre opération

Ensuite, ce qu'on cherche pour le résidu est le coefficient du terme en 1/(z-zi)^2 du DL de laurent.
C'est donc simplement la valeur de votre fraction pour z=zi qu'il faut calculer, puisque vous avez déjà retiré le terme en (z-zi)² du dénominateur

Attention : votre formule est fausse : Dans le cas d'une fraction de deux fonctions holomorphes plus complexes, on pourrait en effet retrouver ces coefficients de laurent par dérivations successives
Mais, ici le travail a déjà été fait quand vous avez retiré le terme en (z-zi)²

[jacknicklaus]

Bizarre :

c'est quoi le n dans I_n(a) qu'on ne voit plus à droite, c'est quoi le 4ac au numérateur qui disparait mystérieusement, et vous n'auriez pas au début un exposant -2 pour (x⁴+a⁴), pour qu'il devienne +2 lors du passage au dénominateur ?
Bref pouvez vous vérifier votre énoncé avant qu'on ne s'y mette ?

[invite6710ed20]

Bonjour

https://www.ilemaths.net/sujet-integ...us-844747.html
Visiblement c'est la même personne qui a posé la même question ici.

J'ai fait le calcul et apparemment ton résultat est (presque) exact mais ce qui est affiché c'est pas vraiment l'intégrale c'est la somme des résidus qui interviennent dans le calcul. Tu as dû oublier de multiplier par $ 2 i \pi.$ Sinon c'est bon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf93d7fd]

Bonjour,

Oui excusez moi je ne sais pas du tout d'où viens cet erreur dans mon énoncé.
La fonction exacte est celle qui est précédées de l'intégrale de la moitié de -infini à + inifini.
Je vous remercie.

[inviteaf93d7fd]

Comment touvez-vous ce résultat?
Malheureusement le resultat annoncé sur cet autre forum est juste le resultat donné par wolfram.

Merci de donner quelques indications s'il vous plait.

[Médiat]

Bonjour,

Quand vous avez un problème avec le Latex de ce forum, comme dans , essayez d'ajouter un espace avant l' \ :

[inviteaf93d7fd]

Merci beaucoup du conseil. C'est exactement cette formule, je ne peux plus modifier malheureusement.

[invite23cdddab]

Ce bug est causé par un réglage du forum, qui coupe les suites de plus de 30 caractères sans espace/trait d'union.

IllustrationAvecCettePhraseÉcr iteSansAucunEspace

On voit que le mot "écrite" est coupé en deux par un espace. Et si ça tombe au milieu d'une commande tex, ça casse tout

[gg0]

Merci de l'info, Tryss,

j'avais pris l'habitude d'insérer pour rien des espaces, je sais maintenant pourquoi !

Cordialement.

[inviteaf93d7fd]

Merci à tous pour votre aide concernant le problème LaTeX. Je saurai pour les prochaines questions.

Avez-vous des idées pour le calcul du résidu de la fonction ?

[jacknicklaus]

Premièrement, un changement de variable z = x/a
Ensuite, tu peux utiliser une astuce classique. Si f(z) = 1/g(z), où g(z) a un zéro d'ordre 2 en z_k, alors :

on pose

le calcul des dérivées secondes et troisièmes de g est trivial. Il vient


et finalement

Je te laisse finir et faire le lien avec la fonction d'origine

[inviteaf93d7fd]

Je vous remercie énormément vous avez été d'une aide précieuse.

Sans vouloir abuser de votre bonne volonté, avez-vous une source particulière pour votre formule du résidu?

Il ne me semble pas la connaître ou alors je ne suis pas capable de faire le lien avec celles que je connais.

Je vous remercie à nouveau, vous m'avez retiré une épine du pied.

[jacknicklaus]

avez-vous une source particulière pour votre formule du résidu?

ca se montre assez bien :
on pose f = 1/g avec g(z) = (z-zk)²h(z) puisque par hypothèse zk est un zéro double de g(z)
d'où g'(z) = 2(z-zk)h(z) + (z-zk)²h'(z)
puis g''(z) = 2h(z) + 4(z-zk)h'(z) + (z-zk)²h'''(z)
et g'''(z) = 6h'(z)+6(z-zk)h''(z) + (z-zk)²h'''(z)
d'où





c'est juste une astuce de calcul qui permet, généralement, de dériver une expression assez simple, surtout dans le cas de polynomes.

[inviteaf93d7fd]

Je ne connaissais pas cette astuce. En effet, c'est assez pratique et judicieux.

Je vous remercie pour vos conseils, votre temps et vos explications.