forme quadratique d'un matrice symétrique

[mizuna]

Bonjour,

Je suis bloquée lors d'un exercice en Algèbre, et étant donné le confinement je ne peux compter sur les séances de TDs pour m'aider ^^
A partir de la matrice symétrique A suivante :
(a,b,b)
(b,a,b)
(b,b,a)
J'ai trouvé le polynôme caractéristique et les vecteurs propres normalisés v1,v2 et v3 associés (avec v2 et v3 orthogonaux):
v1 = (1,1,1) à la valeur propre 2b +a
v2 = (-1,1,0) et v3 =(-1,-1,2) à la valeur propre double a-b
Et après avoir trouver une matrice orthogonale D qui permet de diagonaliser ma matrice :
(1/ √3, -1/ √2, -1/ √6)
(1/ √3, 1/ √2, -1/ √6)
(1/ √3, 0, 2/ √6)
On me demande de trouver la forme quadratique de la matrice A dans la base canonique puis dans la base (v1,v2,v3)... C'est là que je bloque ...
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?
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[minushabens]

qu'est-ce que c'est que la forme quadratique d'une matrice? est-ce simplement l'écriture x'Ax, où x est un vecteur, x' le vecteur transposé et A la matrice?

[mizuna]

il me semble que c'est ça. j'ai fait avec le vecteur x = (x,y,z) et x' sa transposé. q(x,y,z) = u'*A*u et j'obtiens z²a + y²a + x²a + 2bxz + 2bzy + 2byx pour la forme quadratique dans la base canonique.
mais pour la base (v1,v2,v3) comment on procède ? faut-il exprimer la matrice A dans la nouvelle base et ensuite utiliser la même formule avec la nouvelle matrice ou faut-il faire autrement ?

[Resartus]

Bonjour,
Comme vous savez que la nouvelle matrice est diagonale, vous pouvez directement écrire la forme correspondante dans la nouvelle base.
Par contre, il faut que la nouvelle base soit orthonormée. Ce n'est pas le cas des vecteurs que vous avez trouvés. Il faut les diviser par leur norme

[A voir en vidéo sur Futura]

[mizuna]

la base :
(1/ √3, -1/ √2, -1/ √6)
(1/ √3, 1/ √2, -1/ √6)
(1/ √3, 0, 2/ √6)
n'est pas orthonormée ?