Question sur pi

[maatty]

Bonjour à tous,
je parcourais un livre concernant la détermination de pi via la méthode d'Archimède et un point "m'interroge".
Archimède approche le cercle par une suite de polygones inscrits et circonscrits au cercle. A ce stade, le livre met en avant une lacune de la démonstration d'Archimède. Pour un arc de cercle donné il minore la longueur par la corde qui sous tend celui-ci et la majore par un segment (tangent)"à l'extérieur"(ou une ligne brisée extérieure). Là, le livre précise: pas de souci pour la minoration car le plus court chemin entre 2 points est la ligne droite mais rien ne prouve que le segment extérieur (ou la ligne brisée extérieure ) est plus longue que l'arc.
Là est mon interrogation: pas de souci pour le fait que la majoration n'est pas immédiate et doit être précisée. Cependant qu'en est-il de la minoration? Ne doit-on pas également montrer que le plus court chemin est la ligne droite?
Quand je cherche des démonstrations, je tombe sur le fait que pour une courbe paramétrée , la longueur est définie à l'aide de l'intégrale de la norme de la dérivée (je comprends bien cela). Pas de souci ensuite pour constater que pour 2 points sur cette courbe, le plus court chemin possible est alors une ligne droite. Mais c'est là que j'ai l'impression qu'on tourne en rond. Il me semble que la définition par l'intégrale revient à considérer la longueur d'un chemin comme limite de la longueur d'une ligne polygonale (constitué de cordes de ce chemin).
La démonstration du livre montre que la suite des périmètres des polygones intérieurs converge et on appelle périmètre la limite.
Pour résumer, pour montrer la convergence on a utilisé une minoration dû au fait que le plus court chemin est la ligne droite. Mais pour montrer que le plus court chemin est la ligne droite on s'appuit sur l'existence d'une limite (pour arriver à cette définition d'intégrale). Suis-je complètement à côté de la plaque à voir un problème là où il n'y en a pas?
Veuillez m'excuser pour la longueur du texte, j'espère que ce n'est pas trop confus, je remercie ceux qui auront fait l'effort de lire.
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[invite9dc7b526]

comme tu t'en doutes, à l'époque d'Archimède on ne connaissait pas la définition de la longueur d'une courbe à l'aide d'une intégrale. Tout ce qu'on savait calculer c'était la longueur d'une ligne polygonale. Euclide avait démontré (c'est sa proposition I.20, je viens de le vérifier) que dans un triangle la somme des longueurs de deux côtés était supérieure à la longueur du troisième côté. Avec cette proposition on peut démontrer que le segment joignant les points A et B est plus court que toute ligne polygonale joignant A à B (en triangulant le polygone formé par ces deux chemins).

[invite9dc7b526]

Je m'aperçois qu'on n'est pas très sûrs qu'Euclide ait vécu avant Archimède...

[maatty]

Merci de votre réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je m'aperçois qu'on n'est pas très sûrs qu'Euclide ait vécu avant Archimède...

Bonjour.
Je ne comprends pas cette phrase. Vu qu'elle est historiquement fausse (*) j'ai cru qu'elle référait à un message précédent, mais je ne vois pas.

Cordialement.

(*) Même si l'existence d'Euclide est mal attestée, celle des "éléments" est certaine, bien avant Archimède

[invite9dc7b526]

dans mon édition des Elements il est dit que le plus ancien manuscrit connu date de la fin du premier siècle de notre ère. Donc, certes le livre existe depuis plus longtemps mais on ne sait pas bien depuis quand ni ce qu'il y avait dedans, sachant qu'il a pu être remanié au cours des siècles. Et partant, on ne peut pas savoir si Archimède s'est appuyé sur Euclide, et si oui, sur quels résultats d'Euclide précisément.

[gg0]

Le manuscrit des éléments est utilisé par des mathématiciens contemporains d'Archimède, et surtout, il s'appuie constamment sur les méthodes et théorèmes des "éléments", qu'il n'a même pas besoin de rappeler (c'est une compilation récente quand il fait ses travaux). La méthode qu'il emploie pour les nombres irrationnels (méthode d'exhaustion) est d'ailleurs un élément fondamental de traitement des nombres chez Euclide. Sa grande innovation est l'emploi d'arguments "mécaniques".
On ne peut pas se baser sur les dates de documents conservés, ce n'est que par hasard qu'on découvre des manuscrits anciens, la plupart se sont (ou ont été) détruits.
Dernière chose : Euclide rassemble en un tout unifié les connaissances mathématiques de son temps, ce qui fait que de nombreux théorèmes qui y figurent sont des connaissances de base à l'époque, pour un "savant".

Cordialement.

[gg0]

Attention,

les reconstitutions actuelles des "méthodes d'Archimède" n'ont de sens que si on s'appuie seulement sur les mathématiques de l'époque. C'est très difficile car on n'arrive que difficilement à oublier tout ce qu'on a appris !

[maatty]

Merci à vous,
ce qui me gênait un peu c'est que le livre s'attachait à définir le périmètre comme la borne sup des longueurs des lignes polygonales (ce qui n'a rien de choquant) et donc à démontrer l'existence de cette borne sup. Mais à un moment il fait référence à la longueur d'un arc paramétré avec une référence à Jordan pour justifier la minoration d'un arc par une corde le sous-tendant. Du coup je me suis un peu perdu car définir la longueur
par l'intégrale, c'est déjà admettre l'existence d'une borne sup et cela rend donc le reste inutile.
C'est cette référence à Jordan qui m'a troublé mais je me complique peut-être trop les choses. Je vais y réfléchir à nouveau.

[gg0]

En fait, dans cette méthode, les longueurs des polygones sont deux suites adjacentes. Comme elles ont une limite commune, il suffit de justifier que les longueurs des polygones extérieurs majorent les longueurs des lignes polygonales. Ce qui n'est d'ailleurs pas évident

Cordialement.