Exponentielle d'une matrice
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Exponentielle d'une matrice



  1. #1
    lolette99

    Exponentielle d'une matrice


    ------

    Bonjour à tous,
    Dans le cadre d'un devoir maison, je dois montrer ceci :
    En sachant que les valeurs propres de A sont lambda 1, lambda 2, ..., lambda n. Montrer que les valeurs propres de exp(A) sont exp(lambda 1), exp(lambda 2), ..., exp(lambda n).
    Je ne vois pas du tout comment faire. Je me dis qu'il faut peut etre différencier plusieurs cas en fonction de si la matrice est diagonable ou non mais je ne sais pas comment procéder.
    Merci d'avance pour vos réponses,
    Bonne journée

    -----

  2. #2
    Resartus

    Re : Exponentielle d'une matrice

    Bonjour,
    Pensez aux formules de changement de base : B=T(-1)*A*T et ce que cela donne pour B^n et A^n….

    Ce sont toutes ces puissances qui figurent dans la formule de exp(A)
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  3. #3
    lolette99

    Re : Exponentielle d'une matrice

    Vous voulez dire que exp(A)=P^(-1)*exp(A')*P ?

  4. #4
    jacknicklaus

    Re : Exponentielle d'une matrice

    pensez simplement à la définition de exp(A) en série entière.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    lolette99

    Re : Exponentielle d'une matrice

    on a exp(A)=1+A+A²/2...=somme de n jusqu'à l'infini de A^n/n!
    Je ne comprends pas quoi en faire

  7. #6
    Resartus

    Re : Exponentielle d'une matrice

    Bonjour,

    J'ai lu trop vite la question et je vous ai induit en erreur. Comme le dit jacknicklaus, si on veut juste trouver les valeurs propres, il est inutile de changer de base.

    Calculez ce que vaut exp(A)*Xi, où Xi est un vecteur propre de A de valeur propre lambdai, et concluez
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  8. #7
    Paraboloide_Hyperbolique

    Re : Exponentielle d'une matrice

    Bonjour,

    Regardez ce qui se passe quand vous développez . Vous devriez tomber sur une jolie simplification.

    Une fois cela fait, injectez ce que vous aurez observer ci-dessus dans l'expression de l'exponentielle sous forme de série entière.

  9. #8
    lolette99

    Re : Exponentielle d'une matrice

    oui j'ai réussi à le prouver avec la formule exp(A)=Pexp(A')P^(-1)
    merci beaucoup

  10. #9
    jacknicklaus

    Re : Exponentielle d'une matrice

    Citation Envoyé par lolette99 Voir le message
    oui j'ai réussi à le prouver avec la formule exp(A)=Pexp(A')P^(-1)
    merci beaucoup
    il y a quand même bien plus direct. Si Lambdai et Visont respectivement valeur propre et vecteur propre, on a :
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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