Équation différentielle d'ordre 2

[invite47b1045e]

Bonjour,
J'ai vu plusieurs choses sur internet mais ça m'a plus embrouillé qu'autre chose. Pourriez vous me dire si c'est l'ensemble des solutions de l'équation homogène ou l'ensemble des solutions de l'équation initiale (avec second membre) qui est de dimension 2 ?(pour les équations différentielles d'ordre 2)
Cordialement
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[Resartus]

Bonjour,

Une équation différentielle du second ordre a généralement pour solutions une famille de fonctions à deux paramètres

Dans le cas où l'équation est linéaire et homogène, la résolution est facilitée, parce que toutes les solutions s'obtiennent comme combinaison linéaire de deux fonctions (si on les appelle f(x) et g(x), la solution générale sera af(x)+b.g(x)). Il suffit donc de trouver deux fonctions particulières solution et on les aura toutes (il faut quand même vérifier que ces deux fonctions particulières sont bien indépendantes, c'est à dire que la seconde n'est pas un multiple de la première),
Et l'ensemble des solutions est alors un sous espace vectoriel de dimension 2 dans l'espace des fonctions.

Si on rajoute un second membre à l'équation homogène de départ, et qu'on en trouve une solution particulière h(x), la solution générale sera de la forme a.f(x)+b.g(x)+h(x). C'est bien toujours une famille de fonctions à deux paramètres. Il est possible que certains textes parlent "d'espace de fonctions à deux dimensions"

Par contre, à cause de ce terme obligé h(x), la somme de deux fonctions solution n'est pas une solution
C'est pour cela que la plupart préfèrent éviter le terme de "dimension" dans ce cas, car cela risque de faire croire à un sous espace vectoriel, ce que cet ensemble n'est pas.

[invite47b1045e]

Merci pour votre réponse.
Cordialement,
Maxime Abiven