Problème d'arithmétique

[DavianThule95]

Bonjour,

J'essaie depuis plusieurs jours de résoudre un problème d'arithmétique, sans succès. Pourriez-vous m'aider ? Voici le problème :

Soit un ensemble infini. Soit un entier naturel. Montrer que :


De mon côté j'ai essayé ceci :

Puisque A est un sous-ensemble de N, il est ordonné et on note le nième élément de A, rangés par ordre croissant.
On note aussi :


Soient et des éléments de A, avec c>b. On note.


On pose alors les suites et définies par :

Pour tout , et . On remarque que pour tout n.

Maintenant que les notations sont faites, on raisonne par l'absurde en supposant que :


En prenant t.q (avec les p les nombres premiers), on a que :



Et puis là... je suis bloqué ;(. J'ai bien tenté de voir que pour x_n assez grand, mais je vois pas comment aller plus loin.


Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance.
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[pilum2019]

Supposons par l’absurde que pour tout couple d’éléments de a et b de A on ait :
p|(a+b) => p < N
Alors en particulier, pour tout élément de A nous avons : p|2a => p < N
Donc l’hypothèse par l’absurde entraine que les premiers qui divisent les éléments de A sont eux aussi en nombre fini.
C’est une piste...Ce sera peutêtre plus facile de travailler avec ça sachant que a et b sont composés chacun d’un nombre finis de premiers.

[pilum2019]

Après il me semble que c’est lié au théorème de Zsigmondy, ou plutot à une de ses conséquences :
si p est premier, alors p^n +1 admet un diviseur premier plus grand que 2n, à quelques exceptions près.
Cherche dans cette direction.

[DavianThule95]

D'accord merci !! je vais chercher de mon côté en prenant en compte les infos que tu m'as données

[A voir en vidéo sur Futura]

[DavianThule95]

Tu disais :
"Supposons par l’absurde que pour tout couple d’éléments de a et b de A on ait :
p|(a+b) => p < N
Alors en particulier, pour tout élément de A nous avons : p|2a => p < N"

En posant on a bien que et

La suite où b est un élément de A, et (a_n) la suite des éléments de A est incluse dans

Et donc là je me dis intuitivement que dès lors que a_n devient grand, c'est aussi le cas de x_n, et j'ai l'impression que tous les entiers en dessous de ne divisent pas x_n (donc il existe un p>N qui divise X_n, ce qui est absurde). Mais j'arrive pas à démontrer rigoureusement mon intuition. Des idées ?

[minushabens]

Pas facile ce problème. Je me demande si on ne pourrait pas le résoudre en calculant un équivalent asymptotique au nombre d'entiers entre 1 et N dont tous les facteurs premiers sont dans un ensemble fixé, et en le comparant au nombre d'éléments de A+A entre 1 et N. Je subodore que ce dernier nombre croît beaucoup plus vite.

en tout cas le résultat est joli, et pas facile à intuiter, sachant qu'il est très facile d'exhiber un ensemble infini d'entiers ayant très peu de facteurs premiers distincts

[pilum2019]

Voilà mes idées pour l’instant (c’est tout ce que j’ai malheureusement) :
Une conséquence du théorème de Zsigmondy est :
propriété Z : Si A est un nombre quelconque non nul, alors 1 + A^m admet un diviseur premier p aussi grand que l’on veut, pourvu que l’on prenne m suffisament grand.

La clé de ce problème est d’étendre la propriété Z au nombres du type 1 + B (A^m) où A et B sont premiers entre eux.
Si on y arrive la résolution du problème est quasi -immédiate.

[pilum2019]

peux-t-on savoir où ce problème a été trouvé ?

[minushabens]

Je me demande si on ne pourrait pas le résoudre en calculant un équivalent asymptotique au nombre d'entiers entre 1 et N dont tous les facteurs premiers sont dans un ensemble fixé, et en le comparant au nombre d'éléments de A+A entre 1 et N. Je subodore que ce dernier nombre croît beaucoup plus vite.

non en fait c'est idiot. Il faut trouver autre chose.

[DavianThule95]

peux-t-on savoir où ce problème a été trouvé ?

Je l'ai trouvé sur Quora, par contre j'ai perdu le lien. J'ai posé ce problème ici car sur le forum d'origine, personne n'avait répondu à cette question. Je sais qu'il y a une solution puisque j'avais posé le problème en début d'année à mon professeur de maths (je suis en math sup), et il avait trouvé la réponse. Je lui ai reposé la question il y a quelqu'un temps parce que j'avais oublié comment faire, mais il se trouve que lui aussi avait oublié...

Pour revenir sur ce que tu disais "Etendre la propriété Z aux nombres du type 1+B(A^m)", ça marcherait si on pouvait le prouver, mais j'ai l'impression que ça serait rendre le problème plus dur qu'il ne l'est. Je ne sais pas, je vais essayer. En tout cas merci pour l'idée !

Si des gens qui passent par là en ont d'autres, n'hésitez pas à en faire part ici

Si je trouve la solution, je la posterai sur le forum

[DavianThule95]

non en fait c'est idiot. Il faut trouver autre chose.

J'ai essayé, mais honnêtement même si on arrivait à trouver un équivalent du "nombre d'entiers entre 1 et N dont tous les facteurs premiers sont dans un ensemble fixé", on pourrait pas le faire pour le "nombre d'éléments de A+A entre 1 et N", puisqu'on a pas vraiment d'informations explicites sur A ou A+A (encore moins sur leurs éléments)

[pilum2019]

C’est marrant mais la conjecture abc (Oesterlé et Masser ) peut, il me semble , t’aider à résoudre ton problème.
Cette conjecture affirme (entre autre) que : il existe une constante k qui vérifie pour tout couple d’entiers naturels a et b :
c < k *d², où c est la somme de a et b, et où d est le produit des diviseurs premiers distincts de abc.
D’une façon générale, cette conjecture donne une borne sous forme de puissance de d.
Mais il existe d’autres résultats, démontrés ceux là, et voici l’un d’entre eux :
c < exp ( k* d^(1/3)* ( ln(d) )^3 ) (Stewart et Yu 2001)

Par rapport à ton problème : si on suppose d borné, car inféreur au produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à N, alors c = a + b est borné grâce au théorème de Stewart et Yu. Ce qui est incompatible avec le fait qu’on peut prendre a et b aussi grands que l’on veut.

[minushabens]

un équivalent du "nombre d'entiers entre 1 et N dont tous les facteurs premiers sont dans un ensemble fixé"(...)

c'est de l'ordre du logarithme de N. Mais effectivement on ne sait rien sur A.

[DavianThule95]

J'ai posté la question sur un autre forum (mathraining), et il se trouve que quelqu'un a réussi (malheureusement c'était il y a 4 mois, je ne me souviens plus de son pseudo. Merci encore à lui s'il passe par ici) ! Je vous partage donc ici l'énoncé et le corrigé, au cas où quelqu'un se pose la même question.

[DavianThule95]

D'ailleurs ne prenez pas en compte, dans l'énoncé, la phrase "c'est-à-dire que chaque nombre premier divise au moins un élément de A+A", c'est faux. Il faut simplement montrer que P(A+A) est infini.