Relation d'ordre, cercles du plan

[invite50fb2aed]

Bonjour à tous,

Je rencontre des difficultés sur l'exercice suivant. Je pense que je ne comprends pas précisément la relation d'ordre. J'ai du mal avec les cas pratiques. Je vous soumets l'exercice:

Soit C et C' deux cercles du plan de centres respectifs O et O' et de rayons R et R'. On dit que C est intérieur à C' si OO' <= R' - R
Montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre dans l'ensemble des cercles du plan.

Je ne demande pas qu'on me fasse l'exercice, simplement qu'on m'aide à démarrer. La relation d'ordre est-elle <= ? Qu'est-ce que ça donne pour la réflexivité ? Je pense qu'une fois avoir compris cela, je pourrai terminer l'exercice.

Merci d'avance.
-----

[gg0]

Non !

Dans la phrase "Montrer qu'il s'agit ..." le sujet est ce dont on parle à la phrase précédente : La relation "être intérieur".

Donc ici, tu as un ensemble G, l'ensemble des cercles du plan. Sur cet ensemble, on définit une relation : Si C et C' sont deux cercles du plan, on dit que C est intérieur à C' si OO'<=R'-R. L'idée de "intérieur" est assez évidente, et tu peux faire un dessin pour voir pourquoi cette définition
Notons par exemple S cette relation (C S C' <==> C est intérieur à C'). Tu dois prouver qu'elle a les trois propriétés habituelles.

Cordialement.

[invite50fb2aed]

Merci beaucoup pour ces explications. Du coup, si je comprends bien, dire "intérieur à", ça revient à considérer une inclusion non ? C'est ce que je comprends en faisant un dessin...

Cordialement.

[gg0]

Non,

le mot inclusion n'est pas correct pour les cercles. Un cercle définit deux parties du plan (en plus de lui), une intérieure, l'autre extérieure. Réuni avec son intérieur, il donne un disque fermé. Le cercle C est intérieur au cercle C' s'il est inclus dans le disque fermé défini par C'. Tout ça c'est pour avoir une intuition de la situation, mais si tu veux l'utiliser, il va falloir le démontrer avec la définition donnée dans ton énoncé. C'est elle l'outil de base.
A toi de t'y mettre ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

si je comprends bien, dire "intérieur à", ça revient à considérer une inclusion non ? C'est ce que je comprends en faisant un dessin...

Non, "intérieur à" c'est le nom de baptême de la relation d'ordre. Il a été judicieusement choisi pour inciter à se référer à une intuition géométrique, que tu as observée en faisant un dessin.
Mais c'est tout. On aurait pu la nommer "zorg". Et tu aurais, avec deux cercles C₁, C₂ :

C₁ zorg C₂ <==> O₁O₂ <= R₂ - R₁

Tu dois maintenant montrer :
1) C zorg C
2) C₁ zorg C₂ et C₂ zorg C₁ ==> C₁ = C₂
3) C₁ zorg C₂ et C₂ zorg C₃ ==> C₁ zorg C₃

[invite50fb2aed]

D'accord, je comprends à présent. Mais quand je commence par la réflexivité, je rencontre déjà une difficulté.
Notons I la relation d'ordre. Pour la réflexivité, cela donne: pour tout C, CIC => OO <= R - R ce qui donne OO <= 0. Je ne connais pas O. Est-ce qu'on peut considérer que O est nul en raison du fait qu'il est de coordonnées (0; 0) ?

Merci d'avance.

[invite51d17075]

Est-ce qu'on peut considérer que O est nul en raison du fait qu'il est de coordonnées (0; 0) ?

pourquoi serait il de coord (0;0) ?
on a bien OO<=R-R=0=OO, et c'est tout, pour tout cercle de centre et rayon qcq. Cela suffit.

[invite50fb2aed]

C'est peut-être moi qui me complique la vie mais je ne comprends pas pourquoi on peut affirmer que OO <= 0 pour n'importe quel cercle. Ce qui me gêne, c'est de ne pas connaître la valeur de O.

[invite51d17075]

O est un point du plan ( le centre d'un cercle de rayon R ).
la dist OO est nulle, où que soit ce point dans le plan.

[invite50fb2aed]

D'accord ! Par contre, je pense que je n'y arrive pas depuis le début car la distance entre deux points, c'est une différence pas une multiplication. En quoi est-ce que OO exprime une distance ?

[gg0]

On note généralement AB la longueur du segment [AB] encore appelée distance entre A et B. OO est la distance entre O et O, connue même si on ne sait pas où est O.

Cordialement.