Trace d'une matrice nilpotente et trace de A^p congru à trace de A mod p

[DavianThule95]

Bonjour,

Je rentre le 1er Septembre en MP, et dans le cadre de mes révisions du programme de MPSI, il y a deux exercices sur les matrices qui me résistent.

Le premier est le suivant :
"Montrer que toute matrice nilpotente est de trace nulle"

Le second est le suivant :
"Montrer que si p est un nombre premier et A une matrice carré, alors Tr(A^p) est congru à Tr(A) mod p.

Pour le premier exercice, j'ai tenté de raisonner par récurrence, et de faire apparaître une matrice nilpotente de Mn(K) comme bloc d'une matrice nilpotente de M_{n+1}(K) pour l'hérédité, mais je n'y arrive pas

Pour le second exercice, pour l'instant je continue à chercher par moi-même.

Si vous pouviez m'aider pour le premier exercice ?

Merci d'avance !
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[Tryss2]

Pour la première question, est-ce que tu connais le lien entre la trace d'une matrice et ses valeurs propres ?

Pour la seconde question, un indice :

 Cliquez pour afficher

la même propriété va servir, ainsi que le petit théorème de Fermat

[DavianThule95]

Je sors tout juste de MPSI, nous n'avons pas vu les valeurs propres d'une matrice.

[0577]

Bonjour,

Pour le premier exercice, j'ai tenté de raisonner par récurrence, et de faire apparaître une matrice nilpotente de Mn(K) comme bloc d'une matrice nilpotente de M_{n+1}(K) pour l'hérédité, mais je n'y arrive pas

on peut en effet procéder comme cela. Indications:
1) le noyau d'une matrice nilpotente est non-nul.
2) prendre un élément non-nul du noyau, le compléter en une base, écrire la matrice dans cette nouvelle base et faire apparaître une matrice nilpotente plus petite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[DavianThule95]

Merci pour ces indications.
Donc j'ai effectivement montré que le noyau d'une matrice nilpotente est non-nul.

Soit non nul.

Quand vous dites de "compléter X" en une base, je ne suis pas trop sûr de comprendre. Je suis censé compléter en prenant par exemple pour former une base de ?

[DavianThule95]

Ce que j'ai fait, c'est que j'ai pris une base de ker(A), que j'ai complété en une base de ker(A^2), etc. jusqu'à obtenir une base B' de ker(A^k) = K^n (en partant du principe que k est le premier exposant tel que A^k = 0)

A partir de là, je peux établir la matrice de changement de base pour aller de l'ancienne base B à la nouvelle base B', que je note P.
J'écris ensuite A dans cette nouvelle base :

A' = P^{-1}AP

Mais à partir de là, je vois pas ce que je peux dire de plus ?