Recherche d'une preuve élémentaire du TFW

[invite5f52a886]

Bonsoir,

Je souhaite avoir votre avis sur le contenu du document ci-joint.
Merci d'avance pour votre réponse.

Ahmed I. B.
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[JPL]

Merci de lire Vous avez démontré un résultat mathématique.

[Médiat]

Bonjour AIB,

Si je pose f(X, Y) = X^7Y^5 - X^5Y^2 +X^4Y^7 - X^3Y^6 = (X^5Y^5 - X^3Y^2)X^2 + (X^3Y^6)XY - (X^3Y^4)Y^2, en posant a = X^5Y^5 - X^3Y^2, b = X^3Y^6 et c = - (X^3Y^4), on a
f(X, Y) = aX^2 + bXY + cZ^2, Est-ce que vous pensez que f est quadratique ?

[Médiat]

Faute de frappe : f(X, Y) = aX^2 + bXY + cY^2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5f52a886]

Bonjour JPL

J'ai bien lu :
"Important : Vous avez démontré un résultat mathématique
Médiat, 30/08/2013, 18h31, ‎
4) Vous voulez l'avis de différentes personnes : publiez votre résultat ici (si possible en format PDF/Latex)"

Je pense être dans les clous.

[invite5f52a886]

Bonjour Médiat

Si a, b, c sont des nombres entiers, alors f(X,Y) = (aX^2 + bXY + cY^2 est une forme quadratique binaire.
En fait, vous avez fait apparaitre une structure de forme quadratique binaire.
Compte tenu du contexte, si X et Y sont des nombres, je vous propose une autre formulation : f(U, V) = aU^2 + bUV + cV^2 où U et V ont remplacé respectivement les nombres X et Y.

Dans mon document je fais apparaitre une structure de forme quadratique binaire (6) (équivalente à (1)) où je remplace z^((n-1)/2) par Z et y^((n-1)/2) par Y pour obtenir la forme quadratique binaire (7) et sa factorisation en un produit de deux formes linéaires.
Les nombres x, y, z et n sont ceux définis dans l'égalité (1) (hypothèse).

Je vous remercie pour votre intérêt à mon document.

Cordialement

Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

[Médiat]

En fait, vous avez fait apparaitre une structure de forme quadratique binaire.

Justement non, ni dans mon exemple, ni dans votre document !

[invite5f52a886]

Et pourtant !
De toute évidence f(X,Y) = aX^2 + bXY + cY^2, avec a, b, c des entiers, est une forme quadratique binaire.
Dans mon document, on peut lire :
(6) x^n (zy)^(n-1)/2 = zy(z-y) ((zy)^((n-3)/2) z^(n-1) + a z^((n-1)/2)y^((n-1)/2) + (zy)^((n-3)/2) y^(n-1 )
En posant, partiellement, dans (6) Z=z^(n-1)/2 et Y=y^(n-1)/2 (remplacement), on a :
(7) x^n ZY = zy(z-y) ((zy)^((n-3)/2) Z^2 + a ZY + (zy)^((n-3)/2) Y^2 )
Dans (7), dans le premier membre on a un produit de deux formes linéaires et dans le second membre on a une forme quadratique q(Z,Y) = ((zy)^((n-3)/2) Z^2 + a ZY + (zy)^((n-3)/2) Y^2 ).
Le théorème de la factorisation s’applique à (7).
Attention : Z c’est grand Z et Y c’est grand Y, x, y , z et n sont des nombres entiers (1) (hypothèse)

[Médiat]

De toute évidence f(X,Y) = aX^2 + bXY + cY^2, avec a, b, c des entiers, est une forme quadratique binaire.

Avec des entiers indépendants de X et Y, il va de soi, que, du coup, toute votre démonstration est fausse

[albanxiii]

Je pense que tout le monde en est persuadé, si jamais c'était encore nécessaire. C'est bon, on peut fermer ?

[Seirios]

Pour ceux que ça intéresserait, une discussion sur le même document a été initiée sur un autre forum.

[invite5f52a886]

Bonjour

Voici une version de mon document plus explicite.
Bonne lecture.

Cordialement

[jacknicklaus]

Bonjour,

bon, donc :
- vous partez de l'hypothèse de l'existence d'un quadruplet x,y,z,n vérifiant (1). ok.
- vous aboutissez à l'équation (7) qui est une égalité entre deux nombres. ok
- vous définissez une forme quadratique binaire q(U,V) en choisissant 3 coefs entiers , qui sont calculés à partir de y et z. jusque là, ok, pourquoi pas.
- vous annoncez alors "En appliquant la réciproque du théorème (2), q(U,V) étant factorisée par hypothèse"
C'est là que c'est faux. Vous n'avez rien factorisé du tout. Vous avez exhibé une égalité entre deux nombres, en bricolant une expression, mais certainement pas obtenu une factorisation d'un forme quadratique binaire.

Vous confondez une égalité entre deux nombres entiers et une égalité de deux fonctions.

[Médiat]

Bonjour,


Ma dernière intervention, ce que vous faites est du même genre que :


Théorème 1 : une équation du premier degré dans IR est de la forme ax + b = 0, si a est différent de 0 elle admet une solution unique x = -b/a


Soit l'équation x² + x + 2 = 0, dont il est facile de vérifier que x = -1 n'est pas solution, or x² + x + 2 = (x+1)x + 2, en posant a = x+1, l'équation devient ax + 2 = 0, or a est différent de 0, donc l'équation de départ admet une unique solution d'après le théorème 1 (ce qui est manifestement faux)

[albanxiii]

On parle de nous aussi sur "l'autre forum" http://www.les-mathematiques.net/pho...98#msg-2060898

[invite5f52a886]

@Jacknicklaus et Médiat
Bonsoir et merci pour l’intérêt que vous porter à mon document.
En réponse à vos remarques, je suppose qu'il m'est demandé de donner une solution de l'équation (7) en ignorant sa genèse.
Connaissant le théorème de la factorisation des formes quadratiques (2), je remarquerais, à une constante près, que le premier membre est le produit de deux formes linéaires U et V et que le second membre est une forme quadratique q(U,V) avec (U,V) Ꞓ Z^2, je testerais le discriminant d pour évaluer la validité de l’équation (7) sachant d’après le théorème (2) que d est un carré parfait et, par conséquent puisque d est impair, on a :
d^2 ≡ 1 [8]
et l’évaluation avec les coefficients de (7) (d^2=B^2-4AC) donne :
d^2 ≡ 5 [8].
Comme l’égalité 1 ≡ 5 [8] est impossible, dans l’équation (7) l’égalité est fausse/impossible et l’on a : x^n UV ≠ zy(z-y) q(U,V) pour tout (U,V) Ꞓ Z^2, donc l’équation (7) n’a pas de solution dans Z^2.
Y-a-t-il une erreur de raisonnement ?
**
Dans ax + 2 = 0 :
1) a est un nombre fixé, a=x+1, x est donc un nombre fixé, ax + 2 est une équation du premier degré.
2) a=x+1 est une fonction de x et l’on a : ax + 2 = (x+1)x + 2 est un binôme du second degré.

Merci d’avance pour vos réponses.
Cordialement

[invite5f52a886]

Erratum

Lire d (discriminant) au lieu de d^2

[jacknicklaus]

Mais puisqu'on vous dit que vous n êtes pas dans les conditions d'application du théorème (2) ! En aucune manière vous n'avez factorisé une forme quadratique vous permettant de dire que son discriminant est un carré. Vous avez seulement exhibé une égalité de 2 nombres.

Dialogue de sourd, je jette l'éponge.

PS
Argument non mathématique mais cependant à méditer : pensez-vous vraiment, que si TFW (un des théorèmes ayant le plus de visibilité au monde) avait eu une preuve élémentaire, il eut fallu attendre plus de 3 siècles pour que quelqu’un la trouve ? Sérieusement ?

[invite5f52a886]

De mon point de vue, vous auriez raison si dans (7) le produit UV (U et V variables de Z) n'est pas un produit de deux formes linéaires).

Il faut peut être ignorer tout ce qui précède (7) en retenant seulement les nombres fixés : x, y, z, n et a.

[invite5f52a886]

Bonjour,
Voici une autre version de la discussion « Nouvelle approche de résolution du théorème de Fermat-Wiles » qui je l’espère répondra à vos attentes.
Bonne lecture.
Cordialement

Théorème de Fermat-Wiles :
(1) « L’égalité x^n +y^n =z^n , où n, x, y, z Є N+ , est impossible pour n>2. »
**
Résumé :
Le document décrit une nouvelle approche de résolution du théorème de Fermat-Wiles.
La recherche de preuve s’appuie sur le théorème de Bachet –Bézout et sur le théorème de la factorisation des formes quadratiques binaires :
(2) "Une forme quadratique binaire q, de discriminant d, est factorisable en produit de deux formes linéaires si et seulement si d est un carré parfait."
Application du théorème de Bachet –Bézout :
Si une forme quadratique binaire est égale à un carré parfait, alors elle est factorisable en un produit de deux formes linéaires.
Application de la réciproque du théorème de la factorisation :
Si une forme quadratique binaire est factorisable en un produit de deux formes linéaires, alors son discriminant est un carré parfait.
L’équation (1) est transformée en une équation du second degré où le discriminant doit être un carré parfait. Ce discriminant est une forme quadratique binaire égale à un carré parfait.
Par application des deux théorèmes cités ci-dessus, on a, pour n impair >1, (x+y-z)xyz est un carré parfait, ce qui implique une marge m1=x+y-z nulle, et, par conséquent, n=1, et pour n=4,
(x^2+y^2–z^2 )x^2*y^2*z^2 et (x^2+y^2-z^2) sont des carrés parfaits, ce qui implique une marge m2=x^2+y^2-z^2 nulle, et, par conséquent, n=2.

[Médiat]

AIB ne semblant pas vouloir comprendre les objections qui lui sont faites, il serait peut-être temps d'appliquer la règle 6 de la charte.

[albanxiii]

En effet, je ne peux pas croire que les explications limpides qui ont été données n'aient pas été comprises par AIB. On est donc devant un cas de passage en force de quelque chose qui ressemble à de la mathématique (car écrit avec des symboles mathématiques), mais qui n'en n'est pas. Je ne sais pas si c'est une théorie personnelle ou simplement hors sujet, mais dans les deux cas cela appelle à la fermeture du fil.

albanxiii, pour la modération.