Enveloppe d'une famille de droites.

[invitea9e4946b]

Bonjour,
je me demandais quelle était la méthode pour déterminer l'enveloppe d'une famille de droites. J'ai effectué ces cours à distanciel et je n'ai pas compris grand chose...
Merci d'avance !
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[Black Jack 2]

Bonjour,

Etant donné une famille de droites, trouver un arc paramétré dont les tangentes soient exactement ces droites.

Soit les droites d'équations a(t).x + b(t).y + c(t) = 0 (avec t dans un ensemble I)

Si a(t).b'(t) - b(t).a'(t) différent de 0 pour tout t de I ...

Il faut trouver une fonction f liant x et y et solution du système :

a(t).x + b(t).y + c(t) = 0
a'(t).x + b'(t).y + c'(t) = 0

Si f est un arc régulier, c'est l'unique enveloppe de la famille des droites.
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Exemple :

Famille de droites : x.tan(t) - y + 1/tan(t) = 0 (pour t dans R/{k.Pi/2})

a(t) = tan(t) ; b(t) = -1 et c(t) = 1/tan(t)
a'(t) = 1/cos²(t) ; b'(t) = 0 et c'(t) = -1/(tan²(t).cos²(t)) = -1/sin²(t)

a(t).b'(t) - b(t).a'(t) = tan(t) * 0 + 1/cos²(t) = 1/cos²(t) (diff de 0 sur R/{k.Pi/2})

On a le système :
a(t).x + b(t).y + c(t) = 0
a'(t).x + b'(t).y + c'(t) = 0

x.tan(t) - y + 1/tan(t) = 0
x/cos²(t) - 1/sin²(t) = 0

x = 1/tan²(t)
y = - tan(t)/tan²(t) - 1/tan(t)

x = 1/tan²(t)
y = - 2/tan(t)

tan(t) = -2/y

x = 1/(-2/y)²
y² = 4.x (parabole)

C'est l'équation de l'enveloppe des droites d'équations x.tan(t) - y + 1/tan(t) = 0 (pour t dans R/{k.Pi/2})
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Je ne suis pas matheux et donc, il se peut que des imprécisions (voire erreurs) se sont glissées dans ma réponse.

Attendre confirmation ou infirmation de vrais matheux.

[invitea9e4946b]

Parfait, merci beaucoup !