Exercice sur la différence symétrique

[chloe4559]

Bonjour, je dois faire un exercice où je dois prouver que la différence symétrique est associative.

Cela signifie donc que je dois prouver que (AΔB)ΔC=AΔ(BΔC)

Dans l'énoncé, nous avions comme définition que AΔB := (A\B) U (B\A) et que A\B := A∩B^c

Je suis donc partie de cette définition.
J'ai dit que (AΔB)ΔC= [(A\B) U (B\A)]ΔC
=[(A∩B^c) U (B∩A^c)]ΔC
=[[(A∩B^c) U (B∩A^c)]\C] U [C\[(A∩B^c) U (B∩A^c)]]
=[[(A∩B^c) U (B∩A^c)]∩C^c] U [C\[(A∩B^c) U (B∩A^c)]^c]

Là j'ai l'impression d'être bloquée même si je connais plusieurs formules comme (E∩F)^c=E^cUF^c et
(EUF)^c=E^c∩F^c

En effet, je ne sais pas si je peux l'appliquer pour exemple si E=A∩B^c et si F=B∩A^c
j'ai quand même essayé mais quand je regarde si le résultat de départ et le résultat final sont cohérents avec les petits cercles je ne trouve pas la même chose.
Est ce que je pars sur la bonne piste ?
Du coup si je pars sur la bonne piste c'est vraiment la grande partie où je dois appliquer le complémentaire qui me bloque...
Merci d'avance,

PS: j'espère que je n'ai pas fait de fautes en recopiant avec toutes ces intersections, unions...
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[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas l'impression que tu sois parti de travers, c'est normal d'utiliser la définition. Simplement il te faut :
* utiliser une notation cohérente (évite de mélanger les \ et les ^c). Pour ma part, j'aurais systématiquement fait disparaître les \.
* Ne pas chercher à montrer directement l'égalité, c'est difficile, contente toi de développer les deux membres, par exemple en réunion d'intersections (de trois ensembles A, B, C, A^c, B^c, C^c).

Bon travail !

NB : Pour te rassurer : Wikipédia.

[chloe4559]

D'accord mais du coup je ne comprends pas ce que vous voulez dire quand vous évoquez le fait de ne pas mélanger les \ et les ^c car pour mes calculs intermédiaires il le faut bien ?
Ensuite j'ai essayé de développer à gauche et à droite mais je ne suis pas tombée du tout sur la même chose...
Je reste en fait bloquée sur cette fameuse grosse union (A∩B^c) U (B∩A^c) e laquelle je dois trouver le complémentaire. Est ce que vous voyez de quoi je parle ? Je ne vois pas comment le simplifier et je pense que mon blocage pour le reste viens de là car je ne peux plus avancer

[gg0]

Je n'ai pas dit de ne pas utiliser la définition, mais de passer rapidement à des écritures sans \. Donc des intersections, des réunions et des complémentaires. D'ailleurs :

C'est même toi qui l'as dit !!

Pour ce qui te bloques, il suffit d'appliquer tes "formules comme (E∩F)^c=E^cUF^c et (EUF)^c=E^c∩F^c. Tu veux le complémentaire de (A∩B^c) U (B∩A^c) ? Tu vois que c'est de la forme EUF, donc tu appliques la deuxième formule; puis la première pour les complémentaires de (A∩B^c) et (B∩A^c). dites en bon français, c es formules sont simples : "le complémentaire de la nréunion de deux ensembles et l'intersection des complémentaires de ces ensembles"; facile à mettre en oeuvre ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[chloe4559]

OK bah finalement c'est bien ce que j'avais entreprit pour la grande partie "complémentaire" et je crois que je n'avais pas saisi la formule que vous venez de me donner implicitement. J'ai compris les choses de manières séparées mais pas sous cet angle ! Merci beaucoup pour votre aide je vais reprendre tout avec vos conseils merci !

[gg0]

"entrepris" (comme pris, de prendre)
Prendre, entreprendre, comprendre, surprendre, surprendre. tous construits sur "prendre".