Variante équation de la chaleur

[lecosmonaute972]

Salut les amis ^^
Je sollicite votre aide par rapport à un problème qui me semble un peu compliqué, c'est une variante de l'équation de la chaleur.
On sait résoudre l'équation de la chaleur :



Plusieurs méthodes sont possibles : séparations de variables, transformé de Fourier, .... pas de problème ici.

Par contre quand j'essaie de résoudre cette équation la, étrangement je n'y arrive plus :



J'ai tout essayé, la méthode des variables séparables évidemment ne fonctionne plus, et en passant par la transformé de Fourier, j'ai aussi un problème, la transformé de Fourier en 1 n'existe pas, 1 n'étant pas intégrable.

Avez vous une méthode de résolution ?
Je vous remercie d'avance ^^
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[azizovsky]

Et si ne dépend pas du temps .

[lecosmonaute972]

Où veux tu en venir ? f(x,t) dépend bien de x et de t

[Tryss2]

Tu peux écrire les solution de ta deuxième équation comme la somme d'une solution particulière de celle ci et des solution de la première équation

Du coup, rien n’empêche de chercher une solution particulière de la forme f(t,x) = g(t)

Donc si f est solution de la première équation, f(x,t)+t est solution de la seconde équation (et réciproquement, si f est solution de la seconde équation, f(x,t)-t est solution de la première équation)

[A voir en vidéo sur Futura]

[lecosmonaute972]

Merci pour vos réponses les amis ^^
Je comprends mieux ce que vous voulez dire; effectivement en gardant la solution de la 1ere équation et en additionnant une solution particulière on trouve une solution pour l'équation 2.
Cependant, si on cherche une solution particulière de la forme f(x,t)=g(t), on trouve comme solution :



Et si on cherche une solution particulière de la forme f(x,t)=g(x), puisque j'ai aussi le droit de le faire, on trouve :



Ce sont 2 fonctions qui sont bien solution de l'équation mais du coup on ne peut pas considérer avoir l'unique solution générale.
A ce moment doit-on considéré que l'équation admet 2 solutions ? Ou a t'on seulement 2 solutions particulières ?

[ThM55]

Il ne peut en effet y avoir une unique solution générale. Pour cela il faudrait ajouter des conditions aux limites, ou des conditions initiales.

Une autre méthode est de partir de la fonction de Green pour l'équation de la diffusion. Elle est bien connue. Mais là aussi il faut faire un choix de condition aux limites.

[azizovsky]

Dans le deuxième membre de l'équation, tu a une source stationnaire q=1

The steady-state heat equation for a volume that contains a heat source (the inhomogeneous case), is the Poisson's equation:

where u is the temperature, k is the thermal conductivity and q the heat-flux density of the source.

https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation