Bonjour,
Je suis nouvelle sur ce forum, j'espère donc que je poste ce message au bon endroit
Dans mon Devoir Maison, je doit travailler sur une preuve qui est :
Prouvez que (|x|^n)/n ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini (sachant que |x|>1)
Je n'ai aucune idée de comment m'y prendre, j'ai essayé avec des tableaux de variation sans grand succès
Si vous avez des idées je suis preneuse
Merci d'avance pour votre temps,
Cordialement
EA
Bonjour.
C'est une propriété généralement admise en supérieur, mais puisqu'on te le demande, tu peux utiliser les pistes suivantes :
* passer en log
* ou poser |x|=1+u avec u>0 et utiliser la formule du binôme
Il y en a sans doute d'autres ...
Bon travail !
Re bonjour,
J'ai essayé d'utilité la méthode du binôme
J'ai donc posé |x|=1+u
J'obtient donc (|x|^n)/n = ((1+u)^n)/n
Grace au binôme je trouve = somme de k0 à n ( (k parmi n) 1^(n-k) u^k 1/n )
En développant le coefficient (k parmi n) j'obtient = somme de k0 à n ( (n-1)! / (k! (n-k)! ) u^k )
Je n'ai pas trouvé comment connaître la limite de cette somme
J'ai pensé à comparer (n-1)! / (k! (n-k)! ) à n-1 pour un k fixé > 1, sachant que somme (n-1) diverge, par riemann somme ( (n-1)! / (k! (n-k)!) ) diverge aussi mais le terme u^k m'empèche de conclure.
Avez-vous des pistes à me donner ?
Cdt
EA
Regarde explicitement les premiers termes et pense que tout est positif.
J'ai été surpris par ton "somme de k0 à n"; tu veux dire "somme de k=0 à n" ?
Les premiers termes sont tous positifs et en particulier pour n=3 on trouve (u^n)/n + u^(n-1) + (n-1)u^(n-2)
Cependant comme u > 0, il peut être compris entre 0 et 1
Or lim (u^N) quand N tend vers l'infini = 0 si |u|<1
Je ne prouve toujours pas que la limite de la somme est différente de 0...
Merci d'avance
Oui c'est bien la somme de k=0 à n, je ne savais pas comment l'écrire sur ordinateur.
J'ai trouvé mon erreur : je m'étais embrouillée dans le binome de Newton :
Pour n = 3 on trouve (u^0)/n + u^1 + (n-1)u^2
On a bien que des termes positifs avec au moins un (u) non nul donc la limite ne vaut pas zéro
Merci beaucoup
EA
Et surtout, pour tout n, le troisième terme te permet de conclure.
