Calcul différentiel normes et applications continues

[invite0f9d91dd]

Bonjour

J'ai un problème de calcul différentiel que je ne parviens pas à finir de résoudre. Le voici :

On munit R[X] de la norme suivante :
∥∑k=akXk∥=sup{|ak|; 0≤k≤n}.
Pour c∈R, on définit la forme linéaire ϕc : (R[X],∥⋅∥)→(R,|⋅|),P↦P(c). Pour quelles valeurs de c la forme linéaire ϕc est-elle continue? Dans ce cas, déterminer la norme de ϕc.

j'ai trouvé que pour que la forme linéaire soit continue, il faut lim ||Pn||=0 entraine lim |Pn(c)|=0

Ainsi, j'ai décliné plusieurs cas :
si c>1, cela ne marche pas : en prenant Pn(X)=X^n/n par exemple
si c<1, cela fonctionne en prenant Pn(X)=∑ainX^i
il reste le cas où c=1, je n'arrive pas à trouver un polynome qui vérifie lim ||Pn||=0 mais la suite de valeurs Pn(c) ne tend pas vers 0.


J'espère que vous pourrez m'aider.

Bonne soirée
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[invite23cdddab]

Que penses tu du polynôme
?

[invite0f9d91dd]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Pour le cas ou |c|=1, on prend doncle polynome que vous avez dit.
Ainsi, on a ||Pn||=1/n (je ne suis pas certaine de cela). et cela tendrait donc vers 0 quand n tend vers l'infini
Pour le calcul de |Pn(c)|, c'est au final 1/n +...+1/n n fois, cela est égal à n/n, qui est égal à 1, la limite est donc 1.
Pouvez-vous me confirmer si mes résutats sont les bons.

Merci encore pour votre réponse,

Bonne journée

[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas trop compris ton "si c<1, cela fonctionne en prenant Pn(X)=∑ainX^i" ?? Qu'est-ce qui fonctionne ? Et pourquoi ain ( Ain ? a_i n ? a*i*n ?)
Je comprends ton contre exemple pour c>1, puisque si ϕ_c est continue, alors pour toute suite P_n qui tend vers 0, ϕ_c(P_n) tend vers 0. Mais pour c<1, un exemple ne prouve rien. Plus gênant, parmi les c<1, il y a -2 ou -201,24 qui vont donner le même problème avec P_n(X)=Xⁿ/n.

Restons pour l'instant avec c positif, pour 0<c<1, tu veux prouver que ϕ_c est continue. Quelle est la définition ? Connais-tu des caractérisations utiles ? (Attention, R[X] est de dimension infinie).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0f9d91dd]

Bonjour,

voici ce que j'ai fais pour |c|<1

[gg0]

Ok !

in est donc un indice. Et le "en prenant" n'est que la reprise d'une écriture des polynômes; difficile à comprendre dans ton message #1 (*). Quel théorème appliques-tu ensuite pour justifier que ϕ_c est continue ?

Cordialement.

(*) Au passage, même si tu ne t'astreins pas à écrire tes messages avec des formules en LaTeX, tu peux avoir la politesse d'utiliser (mode répondre, ou aller en mode avancé) les boutons x² et x₂, qui donnent les exposants et les indices. Et on comprendra mieux ce que tu écris.

[invite0f9d91dd]

Oui désolé je n'avais pas bien expliqué ce que j'avais fait pour |c| < 1
Et je suis désolée mais je ne sais pas comment écrire en Mode Latex.

Ensute pour justifier que ϕc est continue, j'utilise le fait que si l'application est continue en 0, elle est continue.

Cordialement,

[gg0]

Oui, mais comment justifies-tu qu'elle est continue en 0 (ce n'est pas une application de dans ) ?

NB : Le LaTeX n'est pas très compliqué. Mais au moins, tu aurais pu essayer de mettre le c de ϕc en indice : ϕ_c.