Fonction sinus. Equivalence entre les definitions en géométrie et en analyse

[jall2]

Bonjour

En géométrie, on définit le sinus d'un angle (en radian) comme le rapport entre les longueurs du coté opposé et de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
En analyse, on part de la définition de l'exponentielle complexe e^z=sum z^n/n!, puis on définit le sinus d'un réel x par sin(x)=(e^(ix)-e^(-ix)) / 2i

Comment montre-t-on l'équivalence des 2 définitions ?

Sur la page wikipédia du sinus, une référence expliquant l'équivalence est demandée: "on montre également que cette définition coïncide avec la précédente [réf. souhaitée]"
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[jacknicklaus]

Bonjour,

on peut écrire et lire cette expression de 2 manières
1) fonction exponentielle définie par sa série entière, et sin et cos définies par séparation des parties réelles et imaginaires, ou par la formule que tu donnes, c'est équivalent.
2) interprétation géométrique évidente sur le plan d'Argand de

[jall2]

La formule d'Euler répond à ma question, certes. Mais quand on regarde la démonstration de cette formule, on part du développement en série entière de l'exponentielle complexe
avec
puis on sépare les parties réelles et imaginaires, puis on dit "Oh on reconnaît le développement en série des fonctions cosinus et sinus" ...

Encore faut-il prouver que ces développements en série entière correspondent bien aux fonctions cosinus et sinus que l'on définit au collège dans un triangle rectangle. Donc je ne suis pas plus avancé qu'avant.

[syborgg]

Pour avoir le developpement en serie entiere de sinus et cosinus il suffit de determiner leur derivee respective, ce qui devrait pouvoir se faire sans trop de peine a partir de la definition "naive" de ces fonctions par la geometrie elementaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Si tu fait les details du calcul de la limite necessaire pour determiner l'expression de la derivee de cos par exemple, tu t'appercevras que ta question revient essentiellement a se demander comment demontrer la formule qui donne cos(a+b) avec la geometrie elementaire... ce que je te laisse cogiter. Et idem pour la derivee de sin.

[jacknicklaus]

puis on dit "Oh on reconnaît le développement en série des fonctions cosinus et sinus"

non, non, on les définit ainsi.


définition de la série entière exp(z) --> définition séries entières sin et cos --> application à exp(i.theta) --> séparation parties réelles/imaginaire --> interprétation géométrique sur le plan d'Argand --> identification avec le sin et le cos "élémentaires"

[gg0]

Bonjour Jall2.

Partons de la définition "maths du supérieur" de sin et cos, par l'exponentielle complexe. Il n'y a aucun moyen de retrouver la "définition" des sin et cos de première, puisque c'est une définition intuitive, pas complétement mathématisée. Par contre, rien ne t'interdit de replacer, dans ton triangle rectangle, un cercle trigonométrique (*), de te ramener (théorème de Thalès) à un triangle rectangle d'hypoténuse OM de longueur 1, puis de prendre un des arguments de l'affixe de M et retrouver les formules de troisième. Ce qui assure la cohérence des formules du collège avec la définition du supérieur; et on donne une base solide à ce qu'on faisait en lycée, l'abscisse curviligne d'un point du cercle trigonométrique étant tout simplement un argument de l'affixe du point.

A toi de faire ça pour toi. Si tu bloques à une étape, propose ce que tu as fait.

Cordialement.

[gg0]

(oubli)
(*) le cercle trigonométrique est l'ensemble des points d'affixes et, en revenant sur son utilisation pour la mesure des angles (voir un livre de première S des années 1990) on voit que est exactement ce qu'on appelait "abscisse curviligne".

[syborgg]

. Il n'y a aucun moyen de retrouver la "définition" des sin et cos de première, puisque c'est une définition intuitive, pas complétement mathématisée. .

la je ne comprend pas bien : a quelle definition de sin et cos "intuitive" et "pas completement mathematisee" te referes tu ?...

[gg0]

Celle qui utilise le cercle trigonométrique et la "longueur" de l'arc AM. Ce qu'on voyait en seconde et première à la fin du siècle dernier (*).
Wikipédia esquive le problème en définissant sin et cos d'un angle de vecteurs, pas les fonctions numériques, fonctions d'un réel. Ce cours rapide n'en parle même pas (comment est mesuré l'angle alpha ??). J'ai moi-même mis souvent la poussière sous le tapis quand j'enseignais cela, me contentant, en première S, de renvoyer à des définitions plus solides qu'ils verraient (ou pas !) en supérieur.

Cordialement.

(*) Je connais moins les programmes actuels, je ne les ai pas étudiés en détail; on l'utilise sans doute encore, mais plus en seconde, si je me souviens bien

[syborgg]

Oui certes, exp(it) permet de definir par des moyens analytiques la notion de "longueur d'arc". Mais la notion plus intuitive de longueur d'arc utilisee en lycee n'est pas si mauvaise a mon sens (et elle n'est pas si intuitive que cela puisque les Grecs deja manipulaient le rapport du perimetre au rayon de facon totalement rigoureuse), et si on l'accepte on peut facilement en deduire le developpement en serie entiere de sin et cos par des moyens uniquement geometriques, comme je l'ai mentionne en #5. Personnellement je trouve que c'est fondamental d'un point de vue pedagogique.

[jall2]

J'ai pris un temps de réflexion "offline" et je suis arrivé à une réponse similaire à celle de Syborgg

Pour passer des définitions géométriques aux définitions par l'analyse des fonctions sin et cos:

- On part de la définition naïve du sinus et du cosinus d'un angle dans un triangle rectangle
- On démontre les formules cos(a+b)= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) et sin(a+b)= ...
voir ici
- On calcule les dérivées des fonctions sin et cos à l'aide des formules précédentes, puis les dérivées n ième
- Formule de Taylor pour obtenir les développement en série de sin et cos
- Démonstration de la formule d'Euler e^(ix) = cos(x) + i.sin(x)

[syborgg]

J'ai pris un temps de réflexion "offline" et je suis arrivé à une réponse similaire à celle de Syborgg

Pour passer des définitions géométriques aux définitions par l'analyse des fonctions sin et cos:

- On part de la définition naïve du sinus et du cosinus d'un angle dans un triangle rectangle
- On démontre les formules cos(a+b)= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) et sin(a+b)= ...
voir ici
- On calcule les dérivées des fonctions sin et cos à l'aide des formules précédentes, puis les dérivées n ième
- Formule de Taylor pour obtenir les développement en série de sin et cos
- Démonstration de la formule d'Euler e^(ix) = cos(x) + i.sin(x)

Oui, mais il reste tout de meme un petit point supplementaire a regler "geometriquement" pour obtenir la derivee de sin et cos. Je te laisse le soin de le decouvrir et de trouver une solution complete...

[jall2]

Tu penses à lim sin(x)/x = 1 en 0 ?
Je connais le piège qui consiste à utiliser la dérivée ... alors que pour obtenir la dérivée on utilise lim sin(x)/x = 1. C'est une démonstration circulaire.

[gg0]

Syborgg,

je n'ai jamais dit que la définition intuitive de première (*) est "mauvaise", j'ai seulement dit qu'elle est intuitive, donc non rigoureuse. Et je préfère, dans ce genre de situation, partir de la théorie élaborée et rigoureuse pour retrouver les résultats intuitifs. Ce n'est pas ça, "faire des maths" ?

Cordialement.

(*) ni la notion non définie de "longueur d'une courbe"des Grecs.

[syborgg]

Tu penses à lim sin(x)/x = 1 en 0 ?
Je connais le piège qui consiste à utiliser la dérivée ... alors que pour obtenir la dérivée on utilise lim sin(x)/x = 1. C'est une démonstration circulaire.

Oui il s'agit bien de cela. Mais je n'ai aucun doute qu'il est possible de determiner cette limite par un raisonnement purement geometrique.

[syborgg]

Syborgg,

je n'ai jamais dit que la définition intuitive de première (*) est "mauvaise", j'ai seulement dit qu'elle est intuitive, donc non rigoureuse. Et je préfère, dans ce genre de situation, partir de la théorie élaborée et rigoureuse pour retrouver les résultats intuitifs. Ce n'est pas ça, "faire des maths" ?

Cordialement.

(*) ni la notion non définie de "longueur d'une courbe"des Grecs.

Je crois me souvenir qu'on a deja eu cette discussion a propos des fonctions circulaires. En ce qui concerne le perimetre du cercle, point n'est besoin d'avoir une definition rigoureuse de la longueur d;une courbe en general : on peut considerer ce cas particulier de courbe comme une notion primitive non definie par des moyens mathematiques, a l'instar de la notion de droite ou de point dans les elements d'euclide, et il est clair a tout le monde a quoi cela correspond "physiquement" (derouler le cercle sur une droite et mesurer). Si on accepte cela, on peut alors comme l'on fait les Grecs manipuler de facon tout a fait rigoureuse cette notion, et par exemple prouver que le rapport du perimetre au rayon est constant. Mais n'oublions pas qu'Archimede a definit rigoureusement la longueur d;une courbe par essentiellement les memes moyens qu'on le fait aujourd'hui (approximation par des segments de droite de plus en plus petits). Evidemment il lui manquait une definition operationelle des nombres reels (degagee de la lourdeur de la theorie des rapports) ainsi que la magie du calcul integral pour mener a terme le calcul de nombreux cas, mais il a tout de meme calcule de facon rigoureuse quelques aires remarquables par ces moyens frustres.

Ensuite, non, faire des maths ce n'est pas pour moi (et pas seulement moi) partir de l'abstrait pour aller au concret, mais plutot l'inverse. Et encore plus s'il s'agit d'apprentissage des maths ! Encore une fois, Bourbaki n'est pas fait pour des debutants mais pour des personnes chevronnees qui en tirent profit car elles ont deja digere depuis longtemps le "back ground".

Dans ce cas particulier des fonctions circulaires, j'ai toujours trouve mauvaise la methode francaise de les definir a partir de leur series entieres, puis de ne pas donner les details de comment raccrocher les wagons avec la definition du lycee a partir des fonctions circulaires (meme si on peut considerer que cette derniere ne se base pas sur des definition totalement rigoureuses, ce que je refute en partie plus haut).

[gg0]

Tu me lis mal, Syborgg !

La question de Jall2 était de relier les notions vues en lycée avec les définitions très mathématisées vues en supérieur (il parle même d'équivalence). J'ai donné une piste pour obtenir les résultats de première à partir des connaissances du supérieur. Pas une équivalence, puisqu'il s'agit de théories qui n'ont pas les mêmes axiomes, ce que tu admets toi-même.
Mais tu te mets à parler d'apprentissage des maths, dans une vaine défense d'une position qui n'a rien à voir avec ce que je disais. Relis mes messages, nulle part je n'ai remis en cause les enseignements de trigo du lycée, je n'ai même pas dit que ce n'est pas des maths, j'ai seulement dit qu'il y avait des passages délicats et indémontrables à ce niveau. Tu le reconnais en disant "on peut considérer ce cas particulier de courbe comme une notion primitive non définie par des moyens mathématiques". Ce qui est d'ailleurs un peu inquiétant : On admet n'importe quoi, et ça fait des maths ? Cette conception est d'ailleurs assez dans l'air dans le secondaire, c'est ainsi qu'une petite part des programmes sont rédigés.
Enfin, je t'attribue un point Godwin pour ta référence à Bourbaki, censée disqualifier ma démarche de construction d'une trigonométrie sur des bases solides en supérieur. C'est d'autant plus ridicule que ces constructions sont connues dès le dix-neuvième siècle, bien avant la naissance des parents des fondateurs de Bourbaki.

Cordialement.

NB : Tout à fait d'accord avec ton dernier paragraphe; le lien est d'ailleurs ce que je proposais à Jall2 de faire. On le trouve cependant dans pas mal de bouquins du supérieur (celui de Godement, me semble-t-il, en fait partie). J'avais cherché ça quand j'étais étudiant.

[syborgg]

Si tu est d;accord avec mon dernier paragraphe, tu est d'accord sur l'essentiel de mon message. J'en conclus donc que j'ai du mal te lire comme tu le suggeres.
Quant a Bourbaki, je l'evoquais car beaucoup de gens pensent que c'est l'alpha et l'omega des maths modernes (je ne dis pas que c'est ton cas), et que de nombreux ouvrages de maths sup et math spe s'en inspirent pour pretendre a une rigueur indiscutable. Je trouve cela une tres mauvaise idee d'un point de vue pedagogique. Mais meme en dehors de l'aspect pedagogique, si on considere le demarche de fond de Bourbaki, qui prentendait construire l'edifice complet des maths entierement a partir de l'ensemble vide et des axiomes de ZF, on ne peut qu'admettre qu'il y a en partie echoue (essentiellement car la theorie des categories, pourtant incontournable, refuse d'entrer dans ce cadre). Mais je m'eloigne...

[gg0]

Pour ma part,

je n'ai jamais été bourbakiste, j'ai trop souffert de la mauvaise qualité pédagogique de ses épigones à la fac vers 1970 (des successions de théorèmes sans jamais de prise de distance, de la théorisation pour la théorisation, ...) et vu arriver la réforme "des maths modernes" qui a dérapé aussi à cause des imitateurs mal informés. Mais j'ai découvert à la fin du lycée qu'on pouvait faire des maths rigoureuses, sans "déplacer les triangles" (justification en quatrième des cas d'égalité) ou "enrouler l'axe des x sur le cercle trigo".

Non, Bourbaki est dépassé (et n'a pas essayé de "construire l’édifice complet des maths entièrement a partir de l'ensemble vide et des axiomes de ZF" - ce sont les logiciens actuels qui le font - lis vraiment le premier tome). Et dès le départ, ils rejetaient du corpus des maths des parties entières, les probas, par exemple !

Cordialement.

[syborgg]

On pourrait en discuter a l'infini, mais les "logiciens actuels" comme tu dis n'ont absolument pas l'intention de construire les mathematiques a partir de ZF. Soit ils sont theoriciens des ensembles et developpent des resultats internes a la theorie des ensembles sans relation directe avec le reste des maths, soit ils sont theoriciens des modeles et ont bien d'autres motivations que celle la depuis fort longtemps deja...
Je relirai a l'occasion le premier tome comme tu le suggeres, mais je mettrai ma main au feu que c'etait bien l'intention de Bourbaki, au moins jusque dans les annees 60. Ils ont peut etre change d'avis depuis...

[gg0]

En fait,

ils ont voulu développer logiquement "toutes les maths" (au sens qu'ils donnaient à ces mots). Mais ils ne sont pas partis de ZF et l'ensemble vide. Ils ont utilisé une autre axiomatique, défini les bases dans le volume "théorie des ensembles", puis sont vite partis sur les théories classiques : structures algébriques, topologiques, analyse, ...
Je connais mal leur construction de base, elle est me semble-t-il plus basée sur les propositions logiques que sur l'ensemble vide.

Ce n'est que chez les logiciens que j'ai rencontré l'affirmation que toutes les maths peuvent être logiquement construites à partir de ZFC. Mais même si on trouve des parties des maths de base construites ainsi, il n'y a plus personne pour le faire effectivement.

Donc d'accord sur les ambitions de Bourbaki jusque vers 1960, mais pas sur le fait qu'ils utilisaient "l'ensemble vide et [d]les axiomes de ZF".

Cordialement.

[syborgg]

Si tu defini les entiers comme une sous classe des ordinaux de Von Neumann (qui sont construits a partir de l'ensemble vide), puis a partir des entiers tu construit les relatifs, puis les rationnels, puis les reels, puis les complexes en utilisant les axiomes de ZF, et qu'enfin tu defini les structures comme des ensembles munis de relations, et que tu te base sur les axiomes de ZF pour en contruire de nouvelels a partir d'anciennes... tu fait quoi d'autre que de construire tout a partir de l'ensemble vide et des axiomes de ZF ?... le probleme, comme je le disais, c'est que les categories refusent obstinement de rentrer dans ce cadre formel.

[gg0]

"Si ..."

Je connais ce schéma classique. Je dis seulement que personne ne le traite réellement.
De plus, la multiplication des raccourcis d'écriture ("définitions") fait qu'on utilise très souvent des "preuves" qu'on ne sait pas écrire en langage de base.

Effectivement, les catégories sont un autre langage mathématique, il y a divers idiomes, généralement pas réductibles les uns aux autres (Problème de la traduction). Et probablement des parties des mathématiques qui ne sont jamais rentrées dans la réduction aux ensembles. Par exemple les statistiques des bayésiens. Pourtant très utilisées (*).

Cordialement.

(*) Je ne parle pas des méthodes bayésiennes en probabilités classiques.

[0577]

Bonjour,

quelques remarques:

1) comme indiqué dans la question d'origine, le lien entre la définition des fonctions trigonométriques par séries entières et leur interprétation géométrique n'est pas si facile. Par exemple, partant de la définition par séries entières, il n'est pas clair du tout a priori que ces fonctions sont périodiques (il faut montrer que ces fonctions sont périodiques et définir comme la période). Ce n'est pas insurmontable, ça prend 2-3 pages, mais il y a quelque chose à faire.

2) puisque Bourbaki a été mentionné, je me permets de préciser que Bourbaki ne définit pas les fonctions trigonométriques par séries entières! En fait, Bourbaki utilise la "meilleure définition" qui consiste simplement à rendre rigoureux l'idée "d'enrouler l'axe des x sur le cercle". Plus précisément, la fonction est définie comme l'unique fonction surjective de vers l'ensemble U(1) des nombres complexes de module 1, qui est continue, un morphisme de groupes (f(x+y)=f(x)f(y)) et de noyau . Bien entendu, il faut travailler pour montrer que cette fonction existe et est unique mais la preuve utilise uniquement le fait que U(1) est topologiquement un cercle avec une structure de groupe: aucune formule explicite du type série entière et pas de calcul différentiel/intégral. C'est la "meilleure approche" au sens où elle est la plus proche de l'intuition: le cercle s'identifie au groupe des rotations du plan, et on cherche à paramétrer les rotations par un nombre réel (un "angle") tel que le nombres associé à la composition de deux rotations soit la somme des nombres associés à chacune des deux rotations. Une fois l'existence de f avec ces propriétés établie, il est facile d'en déduire les formules en termes de séries entières.

[syborgg]

Bonjour,

quelques remarques:

1) comme indiqué dans la question d'origine, le lien entre la définition des fonctions trigonométriques par séries entières et leur interprétation géométrique n'est pas si facile. Par exemple, partant de la définition par séries entières, il n'est pas clair du tout a priori que ces fonctions sont périodiques (il faut montrer que ces fonctions sont périodiques et définir comme la période). Ce n'est pas insurmontable, ça prend 2-3 pages, mais il y a quelque chose à faire.

Par contre en partant de la definition geometrique sur le cercle trigo on trouve facilement la derivee de sin et cos, donc le developpement en series, comme je l'ai indique a notre primo posteur au debut...

Je ne savais pas qu'il etait possible de definir comme Bourbaki, c'est une excellente facon en effet, puisque la seule chose qui manque pour definir l'angle d'une rotation c'est bien exp(ix), et le reste suit facilement.

[jall2]

Par contre en partant de la definition geometrique sur le cercle trigo on trouve facilement la derivee de sin et cos, donc le developpement en series, comme je l'ai indique a notre primo posteur au debut...

Après réflexion, j'ai une objection sur cette façon de faire.

Effectivement on peut déterminer les dérivées n-ième du sinus et du cosinus à partir de leur définition géométrique et donc obtenir les développements en série entière (Taylor-Young en 0) de ces fonctions. Mais encore faut-il prouver que ces développements en série entière correspondent bien aux fonctions sin et cos sur R tout entier.

Ce n'est pas évident.
Il y a l'exemple de la fonction prolongée par continuité en 0 par 0. Toutes les dérivées de cette fonction en 0 sont nulles, donc la série de Taylor associée en 0 est la fonction nulle qui est donc différente de la fonction de départ (sauf en 0). On dit que la fonction n'est pas analytique en 0.

[0577]

Bonjour,

Par contre en partant de la definition geometrique sur le cercle trigo on trouve facilement la derivee de sin et cos, donc le developpement en series, comme je l'ai indique a notre primo posteur au debut...

Cela dépend de la forme précise de la "définition géométrique" adoptée, autrement dit de la liste précise des choses admises. Par exemple, quelle est la "démonstration géométrique" de la dérivée de sin? Connaître la formule d'addition sin(a+b)=... n'est pas suffisant pour cela (car la fonction sin(kx) vérifie aussi cette formule pour tout nombre réel k).

Effectivement on peut déterminer les dérivées n-ième du sinus et du cosinus à partir de leur définition géométrique et donc obtenir les développements en série entière (Taylor-Young en 0) de ces fonctions. Mais encore faut-il prouver que ces développements en série entière correspondent bien aux fonctions sin et cos sur R tout entier.

Ce n'est pas évident.
Il y a l'exemple de la fonction prolongée par continuité en 0 par 0. Toutes les dérivées de cette fonction en 0 sont nulles, donc la série de Taylor associée en 0 est la fonction nulle qui est donc différente de la fonction de départ (sauf en 0). On dit que la fonction n'est pas analytique en 0.

Ce n'est pas réellement une difficulté. Une fois que l'on sait que la dérivée de sin est cos et que a dérivée de cos est -sin, on peut montrer que les développements de Taylor convergent: il suffit d'écrire le développement de Taylor avec reste intégrale et de montrer que le reste intégral tend vers zéro, ce qui est une conséquence des majorations par 1 de |cos| et |sin|. La seule vraie difficulté est de calculer la dérivée de sin en 0.

[stefjm]

Un chtit récap?
https://forums.futura-sciences.com/m...and-bluff.html
https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post4353560
https://forums.futura-sciences.com/p...ne-derive.html
https://forums.futura-sciences.com/m...-usuelles.html

[syborgg]

Par exemple, quelle est la "démonstration géométrique" de la dérivée de sin? Connaître la formule d'addition sin(a+b)=... n'est pas suffisant pour cela

[sin(x+h)-sinh]/h = [cosxsinh+sinxcosh-sinx]/h = cosx.sinh/h +sinx.(cosh-1)/h. On prouve par des moyens geometriques que sinh/h tend vers 1 et que (cosh-1)/h tend vers 0 quand h tend vers 0. Je n'ai pas fait les details mais je ne doute pas qu'on puisse y arriver.