Bonjour à vous !
J'ai une question à vous poser sur un de mes exercices d'algèbre.
Soit E un espace vectoriel de dimension n, et φ : E -> E un endomorphisme de E.
On suppose que φ2= 0, et que φ n’est pas diagonalisable.
1) montrer que rg(φ)<=n/2. A quelle condition a t-on que Im(φ)=ker(φ) ?
2)Soit F un supplémentaire de ker φ, et (e1, . . . , ep) une base de F.
Montrer que (e1,...,ep,φ(e1),...,φ(ep)) est une famille libre.
Après il ya d'autres questions mais bon comme ma question porte sur la 2) je vais m'arrêter là.
Pour la une j'ai réussi sans problème. Je suis partie du théorème du rang et pour le deuxième partie, j'ai dit que Im(φ)=ker(φ) si et seulement si rg(φ)=dim(ker(φ)) donc que rg(φ)=dim(ker(φ))=n/2
Pour la deuxième question j'ai pensé à quelque chose mais je crois que ma réciproque est fausse.
En effet, comme on dit que toute sous famille d'une famille libre est libre, est ce que je peux dire que comme (e1, . . . , ep) est une sous famille de (e1,...,ep,φ(e1),...,φ(ep)) et que c'est une base donc une famille libre alors (e1,...,ep,φ(e1),...,φ(ep)) est une famille libre ? J'ai peur que du coup ma réciproque soit fausse là....
Merci d'avance,
Cordialement,
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