Exercice d'algèbre linéaire deuxième année

[chloe4559]

Bonjour à vous !

J'ai une question à vous poser sur un de mes exercices d'algèbre.

Soit E un espace vectoriel de dimension n, et φ : E -> E un endomorphisme de E.
On suppose que φ²= 0, et que φ n’est pas diagonalisable.

1) montrer que rg(φ)<=n/2. A quelle condition a t-on que Im(φ)=ker(φ) ?
2)Soit F un supplémentaire de ker φ, et (e1, . . . , ep) une base de F.

Montrer que (e₁,...,e_p,φ(e₁),...,φ(e_p)) est une famille libre.
Après il ya d'autres questions mais bon comme ma question porte sur la 2) je vais m'arrêter là.

Pour la une j'ai réussi sans problème. Je suis partie du théorème du rang et pour le deuxième partie, j'ai dit que Im(φ)=ker(φ) si et seulement si rg(φ)=dim(ker(φ)) donc que rg(φ)=dim(ker(φ))=n/2

Pour la deuxième question j'ai pensé à quelque chose mais je crois que ma réciproque est fausse.
En effet, comme on dit que toute sous famille d'une famille libre est libre, est ce que je peux dire que comme (e1, . . . , ep) est une sous famille de (e₁,...,e_p,φ(e₁),...,φ(e_p)) et que c'est une base donc une famille libre alors (e₁,...,e_p,φ(e₁),...,φ(e_p)) est une famille libre ? J'ai peur que du coup ma réciproque soit fausse là....

Merci d'avance,
Cordialement,
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[gg0]

Bonjour.

"on dit que toute sous famille d'une famille libre est libre" Toi tu veux utiliser "on dit que toute sur famille d'une famille libre est libre.
Dirais-tu que (e1, . . . , ep,e1, . . . , ep) est une famille libre ??

Attention ! "(e1, . . . , ep) est une base" n'a pas de sens dans ce contexte. C'est "une base de F". Donc c'est bien une famille libre (tu peux le dire directement).

Comme F est un supplémentaire de ker(f), et engendré par (e1, . . . , ep), il reste à engendrer un supplémentaire de F. Regarde où sont φ(e₁),...,φ(e_p).

Cordialement.

[chloe4559]

Ah oui du coup c'est bien ce que je me disais, je ne peux pas utiliser cela puisque c'est faux.C'est plutôt toute sur famille d'une famille liée est liée. Mais ici ça ne va pas m'aider.

Du coup je crois avoir compris. Il faut que j'utilise le théorème qui dit que si on a E un espace vectoriel de dimension finie et si E=F₁⊕F₂⊕...⊕ F_p

et que B₁ est une base de F₁
...
B_p est une base de F_p

Alors B=B₁UB₂U...UB_p est une base de E

Appliqué ici j'ai donc que comme F et ker(φ) sont supplémentaires en particulier je peux dire que E=F⊕ker(φ)

et comme j'ai que (e1, . . . , ep) est une base de F alors une base de E c'est l'union de (e1, . . . , ep) et d'une base de ker(φ)

ce qui donne (e1, . . . , ep,φ(e1), . . . , φ(ep)) donc ceci est une base de E donc bien une famille libre.

Il me reste donc à prouver que (e1, . . . , ep,φ(e1), . . . , φ(ep)) est une base de ker(φ).

[chloe4559]

je rectifie. Il me reste donc à prouver que (φ(e1), . . . , φ(ep)) est une base de ker(φ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui.

Prouver qu'ils sont dans ker(φ)est facile, prouver qu'ils en forment une base un peu plus subtil.

[chloe4559]

Je viens de regarder la question d'après qui me dit compléter cette famille en une base de E à l'aide des vecteurs de Ker(φ)

mais du coup on vient pas de dire que (e1, . . . , ep,φ(e1), . . . , φ(ep)) est une base de E comme la réunion de la base de F et de la base de ker(φ) car F et ker(φ) sont supplémentaires ?

[gg0]

Ah,

je n'ai pas lu l'énoncé correctement, et tu parlais de base.
A priori, si je comprends bien l'énoncé, on n'est pas nécessairement dans le cas p=n/2. On est revenu dans le cas général. Donc 2p, le nombre d'éléments de ta famille peut très bien être inférieur à n (et c'est le cas si n est impair). Il faudra donc compléter pour engendrer F.

C'est toi qui as parlé de base, tu as seulement à justifier que c'est une famille libre.

Bon travail !

[chloe4559]

DM facultatif à rendre le 23 novembre.pdf

Je vous ai mis le sujet en pj pour que vous puissez mieux vous repérer.

La questions 1 je l'ai faite,
La question 2 je n'ai qu'une réponse partielle mais normalement elle n'est pas utile pour la question 3....

[gg0]

Je ne sais pas ce que tu appelles "une réponse partielle". Mais la question 2 est à traiter complétement pour pouvoir utiliser le fait que φ n'est pas diagonalisable. Qu'as-tu trouvé ?

Cordialement.

[chloe4559]

Je suis partie de la définition en disant que x est un vecteur propre de φ si il existe un réel ? tel que φ(x)=λx
Or on sait que φ²=0 donc que φrondφ=0 donc que φ(φ(x))=0 donc que φ(λx)=0 donc que λ²x=0 donc que λ=0
Ce qui signifie que 0 est valeur propre de φ.
Je peux donc dire que si φ admet une valeur propre, c'est forcément 0.
Donc l'ensemble des valeurs propres de φ est inclus dans {0}
Soit φ admet une valeur propre qui est 0 soit φ n'admet pas de valeur propre.
Là est ce que je dois montrer que φ est valeur propre ?

et pour la 2b), j'ai dit que 0 est une valeur propre de φ de multiplicité 2
Donc que 1<=E₀<=2

et je dois avoir que dim(E)=n=dim(E₀)
Soit n=1 soit n=2

Si n=1 alors φ n'est pas diagonalisable.
Donc n=2 et dim(E₀)=2

Ensuite je dirais donc que comme on a la formule A=PDP^-1 alors D=0 0 ( c'est bien une matrice mais je ne sais pas comment l'écrire sur le forum)
0 0

Et donc que P c'est une matrice 2*2. Et que comme dim(E₀)=2 alors on a E₀=vect((V₁), (V₂)) avec V₁ et V₂ deux vecteurs colonnes
et que P a pour première colonne V₁ et pour deuxième colonne V₂
Voilà....

[gg0]

Donc 0 est la seule valeur propre. Supposons que φ a pour matrice, dans une base donnée, la matrice diagonale M. Combien vaut M² ? Quels sont les coefficients de M.

Par contre, fais très attention à ce que tu écris : "Là est ce que je dois montrer que φ est valeur propre ? " C'est idiot, φ n'est pas un scalaire.

Cordialement.

NB : Je ne corrigerai pas ton devoir, je ne connais pas assez les cours que tu as eus et donc ce que tu dois savoir. Et l'algèbre n'est pas ma tasse de thé.

[jall2]

Là est ce que je dois montrer que 0 est valeur propre ?

Si 0 n'était pas une valeur propre, on aurait Ker phi = {0} (vecteur nul)

Or Im phi C Ker phi, mais c'est pas possible que Ker phi = {0} car dim Ker + dim Im = n

donc, oui, 0 est valeur propre et c'est la seule.

[chloe4559]

Non je sais bien que phi n'est pas valeur propre c'est une erreur d'inattention quand j'ai écris le message surtout avec tous les copiés collés que j'ai du faire pour phi.

Merci quand même d'avoir essayé de m'aider, c'est gentil de votre part.

[chloe4559]

d'accord, merci beaucoup jall2.

Du coup quand on me dit que déterminer phi je dois déterminer une matrice ?
Pour répondre à la question de gg0 du coup si je suppose φ à pour matrice dans une base donnée la matrice diagonale M alors M² c'est toujours la matrice M seulement les coefficients diagonaux sont au carré.

Donc si on a que φ²=0 alors M² donne la matrice nulle ?

[gg0]

"alors M² donne la matrice nulle ? "
Oui. Et les coefficients diagonaux ?

Comme φ nulle vérifie bien φ²=0 et est diagonalisable (diagonalisée en toute base),en toute dimension, il y a un souci dans ce que tu faisais au message #10.

"Du coup quand on me dit que déterminer phi je dois déterminer une matrice ?" Pas nécessairement. Mais tu sais bien quune fois une base choisie, il y isomorphisme entre l'ev des endomorphismes et celui des matrices nxn.

Bonne continuation !

Cordialement.