Poker et dénombrement

[Corr]

Bonjour,
J'ai un exercice niveau licence 1 sur le poker. On a un jeu de 52 cartes, avec 13 hauteurs (de l'as au roi) et 4 familles (trèfle, carreau, coeur, pique). On tire 5 cartes de ce jeu et on veut dénombrer le nombre de Quinte possible. J'ai vu la correction et je l'ai comprise, le résultat final est 10 200. En revanche, j'ai eu faux sur mon raisonnement de mon côté et je n'ai pas compris mon erreur. Mon but est que vous m'aidiez à comprendre mon erreur
J'ai raisonné comme ceci. Les tirets bas en dessous correspondent aux 5 cartes de la main.
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Pour le premier tiret bas, j'ai 52 possibilités, je peux tirer n'importe quelle carte car je serais dans la mesure de la compléter pour une Quinte par la suite. Imaginons que j'ai tiré un as de trèfle.
Pour la deuxième carte en revanche je peux tirer soit un 10 (de carreau, de trèfle, de coeur ou de pique), soit un valet, soit une dame, soit un roi. Ce qui fait 16 possibilités en comptant les familles
Pour la troisieme carte, avec le même raisonnement, j'ai 12 possibilités
Pour la quatrième, 8 possibilités et pour la 5ème 4 possibilités

J'obtiens un arbre avec 5 niveaux et je multiplie donc les nombres de branches entre elles à chaque niveau pour avoir le nombre de total de quinte : 52 * 16 * 12 * 8 * 4 = 319 488
Mais, une main avec As de carreau, 10 de trèfle, dame de trèfle, valet de pique et roi de carreau, c'est la même main que 10 de trèfle, as de carreau, dame de trèfle, roi de carreau et valet de pique etc. Je dois donc diviser par le nombre de permutations possibles d'une main à 5 cartes soit par 5! puis retirer le nombre de quinte flush (40 au total)
Donc le nombre de quinte = (319488/5!)-40 = 2622,4
Et c'est faux.. C'est un nombre décimal non entier et puis ce n'est pas la réponse attendue.

Je vous remercie
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[GBZM]

Bonjour,

Si tu tires un 7 en premier, tu as cinq types de quintes possibles pour compléter ce 7 (du 3 au 7, du 4 au 8, etc., du 7 au valet).

[Corr]

Bonjour,
En effet, comment je n'ai pas pu y penser ou le voir !
Merci !!

[GBZM]

Avec plaisir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Corr]

J'ai continué sur cette méthode un peu compliqué
Les cartes 5 6 7 8 9 10 et as suivent la même logique, on a 5 types de quintes possibles. Donc au deuxième niveau de l'arbre, si j'ai 7 à la première carte par exemple, je peux poursuivre 8 valeurs (3,4,5,6,8,9,10,V) donc avec 32 possibilités en prenant en compte les familles. Ensuite on retombe à 12 au troisieme niveau ; si j'ai eu Valet au deuxieme niveau, je suis obligé de former la quinte 7 8 9 10 V donc au troisieme niveau je n'ai que 3 valeurs disponibles (8,9,10) multiplié par le nombre de familles on a bien 12 possibilités. Avec le même raisonnement, j'ai 8 possibilités au 4ème niveau et 4 au dernier niveau.
Puisque le 5 6 7 8 9 10 AS (donc 7*4=28 cartes) suivent la meme logique, ça me donne donc : 28 x 32x12x8x4
Les cartes 2 3 4 V D R suivent la meme logique et ne peuvent aboutir qu'à 1 seule quinte donc au deuxieme niveau du 2eme arbre je n'ai que 4 valeurs donc 16 possibilités, etc etc, ça me donne donc : 24x16x12x8x4
Je dois diviser par le nombre de permutation chacun des résultats et les additionner puis soustraire 40 possibilités de quinte flush : 28x32x12x8x4/5! + 24x16x12x8x4/5! - 40. Je n'obtiens pas la bonne réponse
Par contre en divisant par factorielle 4 ça marche mais je ne comprends pas pourquoi on doit diviser par 4! ?
(28x32x12x8x4/4! + 24x16x12x8x4/4! - 40) = 10 200