Théorème des valeurs intermédiaires

[Yosh2]

Bonjour , pouvez vous m’aider pour ces deux exos.
Exo1: graphiquement j’arrive à voir que chaque f(x) admet au moins 2 antécédents qui sont c+a et c , j’ai pensé que c+c+a = 1 mais ça n’aboutit à rien,
J’ai essayé d’appliquer le TVI sur deux intervalles en coupant la fonction en 2 a son maximum, mais rien de concluant.

Exo2: cas général je présume du premier.
La somme est nul, donc soit tous les termes sont nuls(verifie la condition), soit tous les termes sont égaux (vérifié la condition) , soit certaines différences sont positives et d’autres négatives, on applique le TVI sur la fonction à l’intérieur de la somme .et on aboutit
Est ce correct?
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[GBZM]

Bonjour,

Dans les deux cas, il est intéressant de considérer la fonction (avec bien sûr dans le deuxième cas).

[Yosh2]

En considérant g(x)=f(x+a)-f(x) je trouve pour g(0) =f(a) positif mais pour g(1)=f(1+a) je n’arrive pas à démontrer le signe, et je ne suis même pas sûr que 1+a appartient à Df

[GBZM]

Bien sûr qu'il n'appartient pas à [0,1], sauf si a=0 !
Sur quel intervalle va-t-on considérer la fonction ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Yosh2]

f est dans [0,1] , donc -f est dans [-1,0],donc g est définie sur [-1,1]

[GBZM]

Ça ne va pas, réfléchis mieux.

[Yosh2]

Oups j’ai confondu ensemble de départ et ensemble d’arrivée, g est en effet défini sur [0,1-a]

[Yosh2]

Avec g(1-a)=-f(a) <0 et g(0)=f(a)>0
Le TVI permet de conclure

[GBZM]

Les inégalités sont plutôt larges, mais ça n'affecte pas la conclusion.