Espace vectoriel
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Espace vectoriel



  1. #1
    invitede92cd40

    Espace vectoriel


    ------

    Salut
    J'ai cet question
    Soit E un espace vectoriel et A un sous espace vectoriel de E
    Est ce que A+A=2A ?
    En effet, A+A={a+a / a ∈ A}
    A+A={2a/a∈A} ={a/a∈A} en multipliant par le scalaire 1/2.
    Donc A +A = A
    De même pour 2A on trouve 2A=A
    Donc A+A=2 A
    Est ce ce que c'est juste? Car notre prof nous a dit que A+A ≠ 2A en général

    -----

  2. #2
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Espace vectoriel

    Bonjour,

    Bin non pour votre question et oui pour la remarque de votre prof, puisque vous venez de montrer que
    Citation Envoyé par Mina mia Voir le message
    Donc A +A = A
    (votre argument devrait être mieux rédigé, mais je laisse les professionnels du domaine vous guider sur la rédaction).
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  3. #3
    GBZM

    Re : Espace vectoriel

    Bonjour,

    Une erreur au départ : .
    On a bien (exercice facile).
    On a aussi (sauf sur un corps de caractéristique 2, mais ceci nous entraîne un peu loin).

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Espace vectoriel

    Attention,

    tu te trompes sur la signification de A+A.
    Si U et V sont des sous-groupes d'un groupe (G,+) (c'est le cas ici, pour A, A et E), alors

    donc

    Il n'y a aucune raison de prendre deux fois le même élément dans A. Cependant, on trouve que c'est A. Je te laisse le démontrer en prouvant la double inclusion :

    Je n'ai utilisé ici que la loi +, et la structure de groupe de E et de sous-groupe de A. Utilisons maintenant les propriétés de la loi . :

    On va supposer que E est un espace vectoriel sur . Peux-tu démontrer la double inclusion


    Quand tu l'auras fait, tu pourras retourner voir ton prof pour lui signaler, preuve à l'appui, que dans le cas où A est un sev d'un espace vectoriel réel (ou complexe), on a bien A+A=2A.

    Par contre, dans une situation générale où on a à la fois une addition et une multiplication, il est vrai que A+A n'a aucune raison d'être 2A. Par exemple dans on voit facilement que . Le premier ensemble ne contient aucun entier impair. Et même dans des espaces vectoriels sur des corps finis, les preuves faites ci-dessus ne fonctionnent plus (sur le corps à 2 éléments (*), 2A est réduit à {0}).

    Cordialement.

    (*)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitede92cd40

    Re : Espace vectoriel

    Merci beaucoup ,c'est trés clair .
    Juste une question pour la démonstration de
    A ⊂ A+A
    On prend x ∈ A <=> ∃ a ∈ A ,x=a
    Et aprés je ne suis pas sûr de quoi faire?

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Espace vectoriel

    Tu tournes en rond inutilement. "On prend x dans A" OK ! Pourquoi le renommer a ? Tu dis "∃ a ∈ A ,x=a " ?? Comment le trouver ce a ? Ben si tu dis x=a, c'est que ton a c'est x !!
    Tu devrais apprendre enfin ce que veut dire =, tu n'es plus en primaire (*), tu dois savoir que a=b dit que a et b sont 2 noms pour le même objet mathématique; 3x5 = 15 dit que le nombre 3x5 est aussi noté 15 (ou encore 8+7, par exemple).

    Donc tu as pris un vecteur x dans le sous-espace vectoriel A.

    Tu veux prouver que x est dans A+A; vu la définition de A+A, trouve deux vecteurs y et z, dans A tels que y+z =x; c'est facile, il y a des tas de solutions puisque A est un espace vectoriel.

    Cordialement.


    (*) en primaire, le = sert surtout à présenter le résultat d'un calcul : 3x5 = 15 : le = dit "j'ai fait le produit".

  8. #7
    invitede92cd40

    Re : Espace vectoriel

    Merci ,c'est clair

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Espace vectoriel

    Tu as trouvé quoi, pour x et y ?

  10. #9
    invitede92cd40

    Re : Espace vectoriel

    x=x+0 tel que y=x et z=0 et vu que 0 ∈ A et
    x ∈ A et x+0 ∈ A+A donc x ∈ A

  11. #10
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Espace vectoriel

    OK.

    C'était aussi ma première idée. Mais il y en a d'autres, par exemple

    Si A={0E}, toutes ces méthodes reviennent au même : 0E+0E=0E, mais si ce n'est pas le cas, on peut prendre y dans A, différent de x, et z=x-y est bien dans A. Et on a y+(x-y) = x.
    Tu vois, c'est vraiment pratique que A soit un sev. Sans ça, ça pourrait totalement changer.

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 06/12/2020 à 09h11.

  12. #11
    invitede92cd40

    Re : Espace vectoriel

    Merci énormément.
    J'ai pris vraiment des idées intéressantes.

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