Fonction uniquement dérivable à gauche
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Fonction uniquement dérivable à gauche



  1. #1
    invitedc16fe1a

    Fonction uniquement dérivable à gauche


    ------

    Bonjour
    Pouvez vous m’aider à montrer que la fonction g est dérivable à gauche en tout point mais pas dérivable à droite en aucun point
    Étant donné que la fonction fait intervenir la partie entière, j’ai pensé qu’un encadrement puis le théorème des gendarmes est le moyen à utiliser pour calculer la limite du taux d’accroissement
    Ma recherche ainsi que la fonction sont en pièce jointe
    Merci pour votre aide

    -----
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  2. #2
    invitedc16fe1a

    Re : Fonction uniquement dérivable à gauche

    Je suis complètement bloqué, la moindre indication serais la bienvenue merci de bien vouloir m’aider

  3. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction uniquement dérivable à gauche

    Bonjour.

    Je suis un peu surpris par cette continuité à gauche : Pour et tout k, on a, donc ; mais pour x suffisamment proche de 1 à gauche, les premiers termes sont proches de 1, donc g(x) (somme d'une série à termes positifs) reste loin de 0.

    Cordialement.

  4. #4
    invitedc16fe1a

    Re : Fonction uniquement dérivable à gauche

    En effet elle est discontinue pour x€ Z
    Je dois montrer qu’elle est dérivable à gauche uniquement et ceci en tout point intérieur des intervalles [a,a+1[ avec a entier

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitedc16fe1a

    Re : Fonction uniquement dérivable à gauche

    Nom : image.jpg
Affichages : 209
Taille : 63,0 Ko
    Il me semble également qu’elle a l’allure suivante

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction uniquement dérivable à gauche

    Je me trompe, ou elle est aussi discontinue en les points rationnels ? Quand j'essaie de la tracer, j'obtiens des sauts du même genre qu'en 1 pour 1/2 (même raison), puis des sauts plus petits en 1/3, en 1/4, etc.

  8. #7
    invitedc16fe1a

    Re : Fonction uniquement dérivable à gauche

    En effet j’ai remarqué la même chose en la dessinant sur géogebra en la dessinant avec un nombre fini de termes , mais avec un nombre infini de termes j’imagine qu’elle doit être continue sachant que les points ou elle est discontinue change au fur et à mesure que j’ajoute des termes

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Fonction uniquement dérivable à gauche

    Non, la discontinuité en 1/2 reste bien en place, elle semble passer d'une limite épointée à gauche à 2/3 à une valeur 1/3. Et j'utilise pour le voir une approximation (*) avec n=200, 400, voire 1000. Vu la taille des termes du reste, inférieurs à 2^n pour g(x)-gn(x), ce résultat ne changera pas.
    Il y a donc une erreur dans ton énoncé, la continuité à gauche existe peut-être pour x irrationnel. Je pencherais plutôt pour une continuité à droite partout. Et pour la dérivabilité, je ne la vois nulle part à gauche, mais bien à droite. Tout ça c'est intuitif, mais basé sur une idée simple : Tu fais une somme de fonctions qui sont dérivables à droite en tout point

    Cordialement.

    (*) Calcul exact, puis évaluation de la fraction obtenue. Par exemple (j'ai pris n=100 pour avoir des fractions courtes) le calcul exact donne :
    gn(1/2) = 422550200076076467165567735125/126765060022822940149670320537 6
    gn(1/2-1/10000)=16896937400642145769016 7225921787/253530120045645880299340641075 200

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