Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice : trouvez le nombre de zéros sur une période de la fonction :
f(x) = 1/2 cos(x) - 6/5 cos(2x) + 7/5 cos(4x) puis donner une approximation de chaque zéro.
J'ai tout essayé : tvi, rolle, euler rien ne marche
Bonjour.
As-tu essayé d'étudier f(x) sur une période ? sa dérivée s'exprime comme sin(x) multiplié par un polynôme de degré 3 en cos(x), ce qui permet de savoir combien de fois elle s'annule et d'avoir des valeurs approchées des extrémums.
A vue de nez, elle s'annule 6 fois.
Cordialement.
Tu peux réécrire f(x) comme un polynôme de degré 4 en y = cos(x) ( voir formules de trigo). Ce qui donne déjà l'allure générale de la courbe et le nombre maximum de zéros de ce polynôme.
Partant de là, sachant que y est entre -1 et +1, l'étude de 3 valeurs numériques bien choisies permet d'affiner l'étude et montre que le polynôme P(y) s'annule seulement deux fois dans [-1,+1], et deux autres fois hors de ce segment. De là tu remontes aux valeurs en x.
Dernière modification par jacknicklaus ; 05/12/2020 à 17h31.
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Merci, j'obtiens -sinx(14.8cos(x)^3 -27.2cos( x) +0.5) pour la dérivee. J'ai essayé de faire le changement de variable X=cos(x) mais en vain, je sais pas comment étudier ce polynôme.
indices :
1) cos(2x) = 2cos²(x) -1
2) 4x = 2.(2x)
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Erreur dans la dérivée. Le coefficient de cos^3(x) est faux.
Sinon, pour l'étude, on cherche le signe. Celui de sin(x) est connu. Reste à étudier (44.8cos(x)^3 -27.2cos( x) +0.5) qui, une fois posé X=cos(x) donne un trinôme du second degré qu'on peut étudier à son tour.
Le problème est qu'après avoir fait le changement de variable, on n'obtient pas un polynôme de degré 2 mais de degré 3 que je sais pas comment étudier
Ben ... comme tu as étudié ta fonction de départ ...
cos(2x) = 2cos²(x) - 1 et cos(4x) = 2cos²(2x) - 1
On pose y = cos(x)
d'où f(x) = P(y) = (1/10)(112y4 - 136y2 + 5y + 16)
Or :
un polynôme de degré 4 a au plus 4 racines réelles
P(-oo) = +oo; P(-1) < 0; P(0) > 0; P(1) < 0; P(+oo) = +oo
En conséquence, P(y) a deux racines hors de [-1,1], une racine y1 dans [-1,0], une racine y2 dans [0,1]. On a localisé les 4 racines possibles de P(y).
Un cosinus est dans [-1,1] donc les seuls cas utiles à regarder sont cos(x1) = y1 et cos(x2) = y2
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