Exercice sur les séries

[chloe4559]

Salut à tous !

je reviens vers vous aujourd'hui avec un nouveau problème sur les séries.
J'ai un exercice à faire pour la semaine prochaine !

Intitulé: donner la nature de Σ(-1)^n/((-1)^n+sqrt(n)) en utilisant un développement limité.

Je me suis dit que je pouvais peut-être utiliser la convergence absolue car un DL avec (-1)^n ça me parait fort compliqué !

Au numérateur j'ai (-1)^n donc la valeur absolue me donne 1^n soit 1.
Au dénominateur j'ai (-1)^n+sqrt(n). Là est ma première question. Est ce que je peux dire que la valeur absolue de cette expression est 1+sqrt(n) car sqrt(n) positif ?


du coup si c'est le cas je me retrouve avec 1/(1+sqrt(n))

Et là je peux faire un DL en factorisant par sqrt(n) au dénominateur ?!
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[gg0]

Bonjour.

Ce serait bien que tu essaies d'écrire en LaTeX, tes formules seraient plus lisibles. par exemple ta série serait

Tu peux voir le LaTeX des messages en les ouvrant avec "citer", et en écrire en mode "répondre", avec les balises LaTeX qu'on obtient avec le premier bouton de la zone la plus à droite en bas.
Tu as aussi des explications dans "comment écrire des équations propres sur le forum".

Cordialement

[gg0]

Pour tes questions :

"Est ce que je peux dire que la valeur absolue de cette expression est 1+sqrt(n) car sqrt(n) positif ?" Tu aurais vraiment voulu savoir, tu aurais essayé avec n=0, puis avec n=1, et tu avais ta réponse.
C'est bizarre que tu ne fasses pas ce genre de test simple. Je veux savoir si deux expressions simples sont égales pour tout n, je regarde déjà si ça semble possible !!

Ensuite parler de DL ici est un abus de langage, n tendant vers l'infini, c'est un développement asymptotique qu'on va faire. As-tu regardé comment ça se passe quand n devient grand ? As-tu vu pourquoi on s'embête avec ce développement ? Pourquoi ne pas utiliser le critère spécial des séries alternées ?

Arrivé là, tu verras que ta série n'est pas absolument convergente.

Je te laisse déjà étudier tout ça.

Cordialement.

[chloe4559]

Super merci de l'astuce pour LaTeX.

A vrai dire j'ai rien compris à votre message. Pour la valeur absolue j'ai bien essayé avec n=0 et n=1 et ça fonctionne.

ensuite, je pense qu'on ne peux pas utiliser le critère des séries alternées car on a pas de suite Uk telle que Uk décroissante et qui tend vers 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu es vraiment sûre que pour n=1

Le premier membre vaut 0, le deuxième 2.

D'accord pour le critère des séries alternées, |u_n| tend bien vers 0 mais pas en décroissant. En as-tu vu un équivalent ? Vu pourquoi la série des |u_n| diverge ?

Je ne sais pas quelle est l'idée de l'auteur de l'exercice, je ne vois pas de développement asymptotique de u_n. Par contre le fait qu'il tende vers 0 fait qu'on peut prendre les termes deux par deux et calculer le résultat. On trouve facilement (*) que c'est équivalent à

ce qui va permettre de conclure.

Je te laisse y réfléchir ...

(*) par un DL ou par la quantité conjuguée