Convergence de suite en topologie générale

[Itachi11]

Bonsoir,
On veut étudier la convergence de la suite Un= ( (-1)^n)/n dans l'espace topologique (R,T+), où T+ est la topologie ayant pour base d'ouverts les intervalles [a,b[ a<b,a,b€R.

Soit l€R. Si Un converge vers l, alors tout ouvert contenant l contient tous les termes de la suite Un a partir d'un certain rang.
Soit donc [x,y[ un ouvert contenant l.
Alors il existe entier naturel N telque pour tout entier naturel n>N on a:
Un€[x,y[

Je suis donc bloqué à ce niveau je n'arrive pas à déterminer l. Cet à dire l'ensemble des points vers lesquels cette suite converge si il y'a convergence, Ou alors montrer qu'il y'a pas de convergence pour cette suite
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[gg0]

Bonjour.

Peux-tu trouver un ouvert contenant tous les termes de la suite (question classique de L1, en fait) ? Un ouvert contenant tous les termes U_n pour n>10 ? Un ouvert contenant tous les termes U_n pour n>N ? Un ou des nombres qui sont dans tous ces ouverts ?

Cordialement.

[Tryss2]

Indice : si ta suite a une limite , intéresse-toi aux ouverts (qui contiennent donc )

[Itachi11]

Bonjour merci pour la reponse,
Je vois a present que pour tout entier n>N [-1/N,1/N[ est un ouvert qui contient tous les termes de la suite Un. Donc la suite converge bien vers 0. Mais est ce que 0 est le seul point de convergence? Si oui comment montrer que 0 est le seul point de convergence de la suite? J'ai encore du mal à ce niveau.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Cherche quels nombres sont dans tous les ouverts qui contiennent une infinité de termes de la suite. Tu peux te restreindre à ceux évoqiés par Tryss (en le justifiant).

Cordialement.

[Itachi11]

En y réfléchissant je n'ai pu trouver aucun nombre qui soit dans tous les ouverts contenants une infinité de termes. Donc je vais montrer que cette suite ne converge pas.
Soit l€R, supposons que Un converge vers l.
Et soit [l,l+€[, €<l, un ouvert contenant l. Alors il existe un entier naturel N tel que pour tout autre entier n>N on a: Un€[l,l+€[
Si l est négatif, alors l+€<0.
Pour no=2N, Uno=1/2N qui est strictement positif.
Ainsi no>N et Uno n'appartient pas à [l,l+€[.
Si l est positif, alors l+€>0.
De même, n1=2N+1 Un1 est strictement négatif donc Un1 n'appartient pas à [l,l+€[
Ainsi, il existe des termes au delà du rang N qui ne sont pas dans un ouvert contenant l. Ce qui est absurde donc la suite ne converge pas.
S'il vous plaît est-ce que c'est logique ?

[gg0]

Où sont les Un quand n devient très grand ?

Finalement, l'indication de Tryss n'est pas la bonne ! Désolé, je l'ai suivi sans trop creuser (et en oubliant un peu la définition de Un). Ce qui compte, c'est qu'il y ait un ouvert qui contient tous les termes Un pour n suffisamment grand. Quel sont les ouverts contenant U20 et les suivants de la suite ? Ceux contenant U200 et les suivants de la suite ? quels sont les nombres contenus dans ces ouverts ? Et le seul qui sera dans tous les ouverts contenant UN et les suivants de la suite pour tout N, aussi grand soit-il ?

Bonne réflexion !

[Tryss2]

Finalement, l'indication de Tryss n'est pas la bonne ! Désolé, je l'ai suivi sans trop creuser (et en oubliant un peu la définition de Un). Ce qui compte, c'est qu'il y ait un ouvert qui contient tous les termes Un pour n suffisamment grand.

Heu, non. D'ailleurs, il existe toujours un ouvert qui contient tout les termes de la suite, puisque l'espace entier est toujours un ouvert.

Une suite d'un espace topologique T converge vers x si




Dans le cas qui nous interesse ici :

Si la suite convergeait vers , , alors devrait contenir tout les termes de la suite à partir d'un certain rang, ce qui n'est pas le cas (puisque cet intervalle ne contient aucun terme négatif de la suite)

Si la suite convergeait vers , , alors devrait contenir tout les termes de la suite à partir d'un certain rang, ce qui n'est pas le cas (puisque cet intervalle ne contient aucun terme positif de la suite)

[gg0]

Effectivement, je me trompais

J'ai oublié que [0,1[ est un voisinage de 0.

Cordialement.

[Tryss2]

Quelle est ta définition formelle de "La suite converge vers (pour la topologie T) "?

[Itachi11]

Donc on peut conclure que la suite ne converge pas merci beaucoup à vous

[Itachi11]

tout ouvert de T contenant x contient tous les termes de la suite Xn à partir d'un certain rang.

[Tryss2]

De façon assez intuitive, les suites qui vont converger pour cette topologie sont les suites qui convergent pour la topologie usuelle tout en restant "au dessus" de leur limite.

Au passage, on peut remarquer que cette topologie contient tout les ouverts de la topologie usuelle

[gg0]

En fait,

l'indication à partir d'intervalles [L, L+a[ n'est pas intéressante, rien ne dit que la limite doit être au début de l'intervalle. Mais, pour a et b strictement positifs, tous les ouverts [-a, b[ contiennent une section finissante de la suite (tous les termes à partir d'un d'entre eux); et si un ouvert contient une section finissante, il est de cette forme. Leur intersection ne contenant que 0, la limite ne peut être que 0; mais 0 a un voisinage qui ne contient aucune section finissante de la suite, donc la suite ne converge pas.

Cordialement.

[Itachi11]

S'il vous plaît je ne comprends pas bien pourquoi ces intervalles ne sont pas intéressants. Parceque on a juste besoin d'un ouvert contenant la limite l de la suite et ne contenant pas tous les termes de la suite quelque soit le rang pour conclure que la suite ne converge pas. Or [L,L+€[ est un ouvert contenant l qui ne contient pas tous les termes de la suite quelque soit le rang

[gg0]

Oui, effectivement, c'est plus direct : "[L,L+€[ est un ouvert contenant L qui ne contient pas tous les termes de la suite quelque soit le rang" Mais comment prouves-tu la fin de ta phrase ? D'ailleurs, comme finalement il n'y a pas de limite, qui est ce L ?
Pour ma part, je montre que, s'il y a une limite, c'est 0, et alors, avec L=0, cette phrase devient évidente !!

Cordialement.

[Itachi11]

On suppose que la suite converge vers un L et on aboutit à une absurdité. Et on prouve la fin de la phrase avec une disjonction de cas L>0 et L<0. Si L>0 quelque soit le rang N il existe un terme de la suite au delà de ce rang qui est négatif (on peut prendre U2N+1). Et ne sera donc pas contenu dans notre intervalle. Et si L<0 de même en prenant U2N on a une absurdité. Puisque c'est absurde on peut donc conclure que la suite ne converge pas. Ceci dit la votre paraît plus claire et mieux rédigée merci beaucoup

[gg0]

Heu ... oui, si tu y tiens ... reste à le rédiger correctement ...

[Itachi11]

Merci encore

[Tryss2]

En fait,

l'indication à partir d'intervalles [L, L+a[ n'est pas intéressante, rien ne dit que la limite doit être au début de l'intervalle.

Quand même...

Quelque soit , l'ouvert contient L mais pas tout les termes de la suite à partir d'un certain rang, donc L ne peut pas être la limite de la suite.

Et quelque soit , l'ouvert contient L mais pas tout les termes de la suite à partir d'un certain rang, donc L ne peut pas être la limite de la suite.

Donc aucun nombre réel n'est limite de la suite => elle ne converge pas

[gg0]

Même remarque que précédemment.

Cordialement.

[Tryss2]

Je ne comprends pas ce que tu veux dire.

Pour montrer qu'une suite ne converge pas vers L, il suffit de trouver un ouvert qui contient L mais pas tout les termes de la suite à partir d'un certain rang.

[gg0]

Oui,

et il reste à rabouter tous les arguments éparts.

Cordialement