Norme application linéaire

[invitec3db67d5]

Bonjour j'aimerais établir que la norme d'une application vaut 1.
En effet j'ai un e.v.n E et U un s.e.v de E fermé
On défini E/U ={ē =e+U / e dans E}
On défini ensuite ||ē||=d(e,U)
On veut établir que la norme de l'application linéaire S qui va un élément de E associe sa classe à pour norme 1.
J'ai précèdement établi grâce à la continuité que ||S||≤1.
Maintenant j'aimerais avoir des idées pour avoir l'égalité merci.
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[invite58dcb885]

Bonjour !

(Je crois avoir une solution, mais je peux me tromper)

Il y a quelque chose que je n'ai pas compris, quand tu dis ||ē||=d(e,U), que vaut e ? J'ai supposé que c'était en réalité ||e||=d(e,U), donc qu'on définissait une nouvelle norme... C'est bien cela ?

[invitec3db67d5]

Oui. On définit une nouvelle norme sur E/U
Pour ē dans E/U on a ||ē||=d(e,U) ou ē=e+U avec e dans E

[gg0]

Bonjour.

Comment est définie d ? Si c'est avec l'ancienne norme (d(e,f)=||e-f|| dans E) ça varie dans .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3db67d5]

Oui d(e,U)=inf {||e-u||, u dans U} ou ||e-u|| est la norme sur E

[gg0]

OK, je raisonnais de travers. Tu as donc établi que d(e,U) est constant sur .

Pour l'instant, je n'ai pas d'idée.