La suite contre-exemple de la conjecture Syracuse.

[amineyasmine]

Bonjour

La suite de la conjecture Syracuse se caractérise par : elle se termine une fois elle atteint le nombre 1 et se répète indéfiniment en un cycle de longueur 3 (1,4,2,1,4,2…), appelé cycle trivial.

Supposons la conjecture fausse, il existe donc une suite qui se comporte différemment.
Comment est-ce que cette suite se comporte ? est c’est là l’objet de ma question.

Je n’ai trouvé que deux scénarios possibles :
Scénario 1 : elle se termine une fois elle atteint le nombre P et se répète indéfiniment en un cycle de longueur R qui est différent 3.
Scénario 2 : elle ne se termine pas et continue indéfiniment.

Ma question SVP,
Est-ce qu’il y a des publications ou études sur les comportements possibles de la suite contre-exemple de la conjecture Syracuse ?
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[gg0]

Oui, bien sûr !

Tu enfonces des portes ouvertes ! Ce que tu écris a été dit dès le début, les gens qui ont mis ce problème en évidence ne sont pas des idiots !!
Lis déjà complètement ce document, puis tu verras si tu peux ajouter quelque chose de pertinent (pas la première idée qui te passe par la tête sans avoir réfléchi).

[amineyasmine]

Oui, bien sûr !

Tu enfonces des portes ouvertes ! Ce que tu écris a été dit dès le début, les gens qui ont mis ce problème en évidence ne sont pas des idiots !!
Lis déjà complètement ce document, puis tu verras si tu peux ajouter quelque chose de pertinent (pas la première idée qui te passe par la tête sans avoir réfléchi).

merci
c'est riche
je note surtout les Variantes de la conjecture

[amineyasmine]

Bonjour
Comment est-ce que la suite contre-exemple de la conjecture Syracuse se comportera-t-elle ?
Scénario 1 : elle se termine une fois elle atteint le nombre P et se répète indéfiniment en un cycle de longueur R qui est différent 3.
Scénario 2 : elle ne se termine pas et continue indéfiniment.

bonjour

Le Scénario 1 n’est pas manipulable :
«les résultats de Shalom Eliahou permettent d'affirmer que s'il existe un autre cycle que {1 ; 4 ; 2}, alors sa longueur est supérieure à 1,8*10^11 en tenant compte du dernier seuil de vérification atteint par Barina en 2020»
la manipulation se passe au voisinage de l’infiniment grand (c'est peut être indécidable)

Reste le Scénario 2 : elle ne se termine pas et continue indéfiniment.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

c'est peut être indécidable

Certains le pensent mais ça non plus ce n'est pas démontré. Loin de là.
Ce n'est pas le seul problème pour lequel on a ce genre de doute.

[amineyasmine]

Salut,



Certains le pensent mais ça non plus ce n'est pas démontré. Loin de là.
Ce n'est pas le seul problème pour lequel on a ce genre de doute.

Ce n’est pas la conjecture qui est indécidable, c’est la démonstration que la suite contre-exemple a un autre cycle différent de {1 ; 4 ; 2} qui peut être indécidable.

[Deedee81]

Ce n’est pas la conjecture qui est indécidable, c’est la démonstration que la suite contre-exemple a un autre cycle différent de {1 ; 4 ; 2} qui peut être indécidable.

Les démonstrations ne sont jamais indécidable Ce sont les propositions (et donc les conjectures) qui peuvent l'être. Et bien entendu dans un système d'axiome donné (typiquement ZFC). Et si on ne peut (dans ZFC) trouver la démonstration de : "la suite contre-exemple a-t-elle un autre cycle différent de {1 ; 4 ; 2} ?" alors il y a de fortes chances que la conjecture elle-même soit indécidable.

Mais ça revient au-même. Comme je le disais, dès que ça coince on a tendance à croire ça. Même pour le Grand Théorème de Fermat certains se sont posés la question, jusqu'à ce que Wiles trouve la démonstration (faut dire qu'elle est extrêmement costaude).

Les cas indécidables "pratiques" existent mais ne sont quand même pas si fréquent (et on peut parfois s'en sortir en choisissant des axiomes un peu plus puissant, enfin, pas toujours)
rectif : si c'est toujours possible, je veux dire "pas toujours utile".

[Médiat]

Salut,

Les cas indécidables "pratiques" existent mais ne sont quand même pas si fréquent

Faux dans le cas général, discutable (et encore je dirais plutôt faux, mais, évidemment, cela dépend de ce que l'on entend par "fréquent" et par "pratique") pour l'arithmétique de Peano

[Deedee81]

Faux dans le cas général, discutable (et encore je dirais plutôt faux, mais, évidemment, cela dépend de ce que l'on entend par "fréquent" et par "pratique") pour l'arithmétique de Peano

Oui, j'y pensais. Je veux dire des propositions/conjectures/théorèmes (selon leur statut) publié et utilisé. Il n'y en a pas tant que ça qui ont nécessité d'aller "au-delà de ZFC". Il y a quelques classiques dans les fondements et celui que j'ai toujours bien aimé avec l'hydre. C'est par ça que j'entendais "pratique" : "dans la pratique du mathématicien".

Mais évidemment je ne suis pas une encyclopédie des publications et je suis peut-être totalement à coté de la plaque ?

[amineyasmine]

Bonjour
Une petite réflexion :
Si on considère que la preuve de l’existence d’une suite contre-exemple est indécidable est ce que cela implique que la conjecture pourra être considérée vrai ?

[gg0]

Deedee81 écrivait : "Les démonstrations ne sont jamais indécidables"
Par politesse, prière de lire les réponses qu'on te fait !

[Liet Kynes]

Au final le fait de trouver un cycle ou une croissance infinie dans une suite apporte t-il quelque chose et si oui (ou non) à quoi ?

[gg0]

Ben oui !

Tu pourrais te renseigner sur la conjecture !!

[Liet Kynes]

C'est ce que je fais en posant cette question.

[gg0]

Tu ne connais pas l'énoncé de la conjecture ? Tu n'en as jamais entendu parler ? Alors tape conjecture de Syracuse sur ton moteur de recherche préféré ... Pourquoi demander aux autres de répondre à des questions dont tu peux avoir la réponse tout seul immédiatement !!
C'est quand même assez lamentable cette façon de faire ...

[Liet Kynes]

J'ai lu pas mal de trucs, je suis retourné sur l'article de PLS https://www.pourlascience.fr/sd/math...able-16713.php mais je n'ai pas trouvé de développement de l’intérêt de l'implication d'une démonstration de cette conjecture sur les problèmes mathématiques en général.

[gg0]

Ah, ta question du message #12 parle d'apporter quelque chose aux maths en général ? Tu aurais pu le dire ... car ça apporterait la réponse à la question. Mais comme tu est resté dans le flou, comme tu étais dans un sujet sur un contre exemple à la conjecture, on ne risquait pas de penser que ta question ne la concernait pas.

Pour les maths en général, on ne peut pas savoir, tout dépend comment ça arrive, si l'idée est générale ou totalement particulière. Wiles a résolu la conjecture de Fermat, mais surtout apporté des idées nouvelles, traitant de questions bien plus larges. Et c'est pourquoi tu ne trouves rien puisqu'il s'agit d'une conjecture "isolée".

[amineyasmine]

Deedee81 écrivait : "Les démonstrations ne sont jamais indécidables"
Par politesse, prière de lire les réponses qu'on te fait !

Bonjour
Désolé, j’ai lu mais, mais j’étais dans l’erreur de croire que si je parle d’une proposition puis de sa démonstration puis d’une preuve alors quand je viens dire décidabilité il est évident que ça revoit directement à la proposition et non à la démonstration. (décidabilité de la proposition)

Je reformule

* * * *

Une petite question :
Si on considère que l’existence d’une suite contre-exemple est indécidable est ce que cela implique que la conjecture pourra être considérée vrai ?

[amineyasmine]

Au final le fait de trouver un cycle ou une croissance infinie dans une suite apporte t-il quelque chose et si oui (ou non) à quoi ?

Bonjour
C’est très simple #Liet Kynes, je ne comprends pas l’interrogation.

Si on trouve une suite (Syracuse / n/2, 3*n+1) qui se termine par un cycle différent de (1, 4, 2), c’est fini on a le contre-exemple.
Mais aussi
Si on trouve une suite qui se ne termine par aucun un cycle, mais qui continue indéfiniment, c’est fini on a le contre-exemple.

[gg0]

Démontrer l'existence d'un contre exemple est démontrer la fausseté de la conjecture. Donc ...

[amineyasmine]

Démontrer l'existence d'un contre exemple est démontrer la fausseté de la conjecture. Donc ...

Donc ... c'est fini pour la conjecture

mais quand toutes les possibilités que peut avoir la suite contre-exemple sont indécidables la conjecture est vrai ?

[gg0]

Pourquoi "c'est fini" ? Si la fausseté de la conjecture est indécidable, sa vérité aussi.
Mais il est très peu probable que cela arrive, donc ça ne sert pas à grand chose de spéculer sur du vide.

[invite8a264b09]

En fait plutôt que spéculer sur du vide on peut se demander si en général lorsque l'existence de contre-exemples est indécidable la conjecture est vrai.
La manière la plus 'simple' ou 'intuitive' de faire selon moi est d'utiliser la théorie des modèles qui nous dit que si une proposition est indécidable alors il existe des modèles de la théorie dans laquelle elle est vraie et des modèles dans laquelle elle est fausse.
Dans notre cas si l'existence de contre-exemples est indécidable alors il existe donc des modèles avec des contre-exemples dans laquelle notre conjecture est fausse et des modèles sans contre-exemples dans laquelle notre conjecture est vraie.
L'indécidabilité de l'existence de contre-exemples implique l'indécidabilité de la conjecture.

[Deedee81]

Salut,

mais quand toutes les possibilités que peut avoir la suite contre-exemple sont indécidables

Tu continues à utiliser "indécidable" dans un sens absurde. C'est quoi ça "des possibilités indécidables" ???? Tu devrais te renseigner sur le sens exact de "indécidable" (wikipedia est ton amis). N'oublie pas qu'on est dans le forum de math et s'il n'y a qu'un seul endroit où il faut être vraiment rigoureux dans ce qu'on écrit sur Futura, c'est bien ici !!!!

En fait plutôt que spéculer sur du vide on peut se demander si en général lorsque l'existence de contre-exemples est indécidable la conjecture est vrai.
La manière la plus 'simple' ou 'intuitive' de faire selon moi est d'utiliser la théorie des modèles qui nous dit que si une proposition est indécidable alors il existe des modèles de la théorie dans laquelle elle est vraie et des modèles dans laquelle elle est fausse.
Dans notre cas si l'existence de contre-exemples est indécidable alors il existe donc des modèles avec des contre-exemples dans laquelle notre conjecture est fausse et des modèles sans contre-exemples dans laquelle notre conjecture est vraie.
L'indécidabilité de l'existence de contre-exemples implique l'indécidabilité de la conjecture.

(indécidabilité de l'existence est cette fois un bon usage ).

L'idée des modèles est fort intéressantes. Mais amha si c'était aussi simple ce serait démontré depuis longtemps.
(enfin, Médiat me démentira peut-être, c'est peut-être pas si simple de faire ainsi, je suis pas expert en axiomatique et théorie des modèles)

[Médiat]

Bonjour,

(enfin, Médiat me démentira peut-être, c'est peut-être pas si simple de faire ainsi, je suis pas expert en axiomatique et théorie des modèles)

La théorie des modèles est inutile ici (bien que les explications de degre2 soient correctes), par contre on peut dire :

Si "pour tout n la suite de Syracuse commençant par n se termine par le cycle (1, 4, 2)" est indécidable dans AP, alors il n'y a pas de contrexemple dans IN.

[Deedee81]

La théorie des modèles est inutile ici (bien que les explications de degre2 soient correctes), par contre on peut dire :

Si "pour tout n la suite de Syracuse commençant par n se termine par le cycle (1, 4, 2)" est indécidable dans AP, alors il n'y a pas de contrexemple dans IN.

D'accord, et pour la dernière phrase ça je savais.... (c'est un classique d'ailleurs) mais j'avais espéré que...... Dommage Merci de l'info en tout cas.

[amineyasmine]

Bonjour,
Si "pour tout n la suite de Syracuse commençant par n se termine par le cycle (1, 4, 2)" est indécidable dans AP, alors il n'y a pas de contrexemple dans IN.

Bonjour
J’ai compris, si je continue ce n’est pas parce que je persiste.
J’ai petit murement dans ma tête, et je vois une occasion de poser la question.

Est-ce que la chronologie n’a pas un mot à dire ?
Si dans certaines conditions ou l’énoncé d’un contre-exemple est plus favorable et les outils on usages permettent de conclure en premier sur l’indécidabilité du contre-exemple avant même de n’avoir aucune approche sur le problème initial, est ce que le problème initial ne pourra pas être considéré vrai.

L’idée est que le contre-exemple est faux mais il échappe de peu à une preuve ultime,

[invitef48610c0]

L'hypothèse de l'indécidabilité de la conjecture est séduisante, du fait de l'échec actuel de toutes les tentatives, et de la complexité de l'univers mathématique que l'on explore à partir de cette question de forme si simple au départ.
Mais je me permets de remarquer que l'objet de l'étude peut être représenté par un tableau infini dénombrable à deux dimensions. Verticalement, la première colonne serait l'ensemble des entiers naturels, dans l'ordre habituel, et chaque ligne serait la suite des successeurs du nombre de départ, en appliquant la règle de Syracuse.
Cet objet est donc une application de NxN dans N parfaitement définie. La question est de savoir si toutes ses lignes finissent par se comporter en répétant le triplet 1-4-2.
Je ne suis pas spécialiste de l'étude logique des indécidables, mais l'ensemble dans lequel se situe cet unique objet me paraît plutôt restreint pour qu'y puisse apparaître de l'indécidabilité ..
mais peut-être ai-je tort !

[gg0]

Amineyasmine,

tu ferais bien d'éviter les maths, tu ne comprends rien à la logique, même élémentaire. Tu te contentes d'aligner des mots, sans te poser la question "qu'est-ce que tu es en train de raconter ?" pour éviter de passer pour un idiot. Et ta dernière phrase est caractéristique : "L’idée est que le contre-exemple est faux mais il échappe de peu à une preuve ultime, ".
Si le contre exemple est faux, ce n'est pas un contre exemple. Tu écris n'importe quoi !!!

[Médiat]

...

Si vous relisez mon post précédent vous verrez que j'y parle d'indécidabilité dans la théorie et de véracité dans le modèle, cette distinction est fondamentale.

Deux indices que votre raisonnement n'est pas correct :
1) avec cet argument on pourrait démontrer qu'il n'y a pas d'indécidable en arithmétique, Gödel a démontré le contraire
2) même en des infinis non dénombrables, il n'y a pas d'indécidables dans les modèles