Cercle de C^2

[MissJenny]

bonjour,

l'équation du cercle de l'espace eulidien RxR de centre (x0,y0) et de rayon r est (x-x0)^2+(y-y0)^2 = r^2 (on note au passage que r pourrait être négatif...)

je m'intéresse à un cercle de l'espace CxC. J'ai envie de garder la même équation en remplaçant les réels par des complexes, mais je ne sais pas si ça concerne aussi le rayon.

d'où ma question : quelle est la "bonne" généralisation à CxC d'un cercle : le centre est évidemment dans CxC mais le rayon est-il dans C ou dans R comme pour le cercle réel ?
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[pm42]

Si tu considères ton cercle comme l'ensemble de points à la même distance d'un autre, tu introduis la notion de "distance" donc une fonction de l'espace d'origine vers R qui respecte certaines conditions.

Ton rayon devrait donc être un réel.

[Amanuensis]

En pratique : si l'origine est en (0,0).

(Du coup la formule donne celle du cercle quand on la restreint à RxR.)

Cela donne topologiquement une hypersphère.

[MissJenny]

ok, je vois ce que vous voulez dire : c'est toute l'équation qu'il faut modifier, d'ailleurs de la même manière et pour la même raison qu'on passe des formes bilinéaires dans R aux formes sesquilinéaires dans C.

je vais quand-même essayer de visualiser (c'est difficile en dimension 4) la variété définie par l'équation avec les carrés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

ok, je vois ce que vous voulez dire : c'est toute l'équation qu'il faut modifier

Pas vraiment. Tu as écris l'équation qui correspond à la distance euclidienne dans R. Amanuensis a écrit la même en utilisant un raccourci : le produit d'un complexe par son conjugé donne son module au carré ce qui correspond à la distance du point (0,0).

Dans tous les cas, c'est de la distance.

[MissJenny]

oui j'avais compris. Le membre de gauche de l'équation que j'ai écrite n'est pas une distance, donc c'est bien l'équation qu'il faut modifier, pour avoir l'ensemble des points à égale distance d'un centre. Par contre je ne sais pas si la bonne généralisation consiste à conserver l'équation ou bien à conserver la caractérisation en termes de distance. Il n'y a sans-doute pas de réponse à cette question, mais j'ai compris qu'il n'y avait aucune raison d'avoir un "rayon" réel dans mon équation.

[pm42]

j'ai compris qu'il n'y avait aucune raison d'avoir un "rayon" réel dans mon équation.

Je dirais que c'est le contraire : une distance donne un réel.
Déjà la définition d'une distance implique qu'on puisse comparer des résultats pour avoir l'inégalité triangulaire. Et il n'y a pas de relation d'ordre totale sur les complexes.

[Amanuensis]

je vais quand-même essayer de visualiser (c'est difficile en dimension 4) la variété définie par l'équation avec les carrés.

Comme indiqué, c'est une hypersphère, dans la série cercle en 2D, sphère en 3D, hypersphère en 4D. Plein de propriétés en commun ; homogénéité, isotropie, courbure constante positive, notions de pôles opposés, d'équateur (sphére de dimension un cran de moins) ; non simplement connexe (double couverture), ...

[Amanuensis]

Il n'y a sans-doute pas de réponse à cette question, mais j'ai compris qu'il n'y avait aucune raison d'avoir un "rayon" réel dans mon équation.

Si on remplace r² par un complexe quelconque non nul dans x²+y²=r², (x,y) dans C², ça donne certainement quelque chose, une variété de dimension 3 plongée dans C² ! Mais chercher à comparer qualitativement ce "quelque chose" à un cercle a peu de chance d'être constructif, il me semble.