Convergence vers 0

**Matlabo** · 13/03/2021, 15h57

Bonjour !

Je rencontre quelques difficultés avec cet exercice:
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Pour la question 1 c'est Ok, la 2 j'arrive à montrer qu'elle est décroissante, à la majorer par contre je vois pas vraiment comment montrer qu'elle converge vers 0.

Pour la majorer on commence par le fait qu'elle est décroissante et on trouve que $\text{[math]}$

Mais pour montrer qu'elle est convergente aucune idée !

Merci !

**gg0** · 13/03/2021, 16h42

Bonjour.

Tu peux majorer |Un| par |a|, puis majorer par récurrence |Un| par une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1.

Cordialement.

**Matlabo** · 13/03/2021, 16h45

Envoyé par gg0

Bonjour.

Tu peux majorer |Un| par |a|, puis majorer par récurrence |Un| par une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1.

Cordialement.

Salut gg0 !

Je viens de relire mon post et il se trouve que j'ai fais une erreur de frappe c'est $\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$

Mais comment utiliser la récurrence pour démontrer qu'elle converge vers 0 ?

**gg0** · 13/03/2021, 17h44

Ben ! Alors pas la peine de majorer. Mais j'aimerais savoir comment tu as obtenu ça. Avec |2-U0| j'aurais compris.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Matlabo** · 13/03/2021, 18h53

Par contre ce n'est pas mon idée mais voila
Un est décroissante donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**gg0** · 13/03/2021, 19h09

Il y a bien un problème !

De $\text{[math]}$ on déduit immédiatement $\text{[math]}$ mais comment arrives-tu à $\text{[math]}$ ?

**Matlabo** · 13/03/2021, 21h33

je l'avais pas remarqué mais c'est vrai qu'on a pas l'égalité par contre on a $\text{[math]}$
Car $\text{[math]}$ en se basant sur le fait que |x-y| > | |x| - |y| |
et puisque |Un| < 1 on aura $\text{[math]}$

ce qui donne finalement:
$\text{[math]}$

Mais comment l'exploiter pour prouver la convergence ?

**gg0** · 14/03/2021, 08h47

Oui.

On peut dire aussi que la suite des $\text{[math]}$ étant décroissante, $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ .

Pour en déduire que $\text{[math]}$ tend vers 0, regarde ce que donne ta relation pour $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ , puis éventuellement $\text{[math]}$ , puis établis et démontre une formule de récurrence qui justifiera la convergence vers 0.

Quand tu feras les cours sur les séries, tu verras qu'on peut conclure rapidement (cette preuve est le cœur de ce qu'on appelle le critère de D'Alembert).

Cordialement.

NB : pas besoin de $\text{[math]}$ ni d'inégalité stricte.

**Matlabo** · 14/03/2021, 12h58

Envoyé par gg0

Pour en déduire que $\text{[math]}$ tend vers 0, regarde ce que donne ta relation pour $\text{[math]}$ , puis $\text{[math]}$ , puis éventuellement $\text{[math]}$ , puis établis et démontre une formule de récurrence qui justifiera la convergence vers 0.

Ah mais c'est vrai, on devrait trouver $\text{[math]}$

et étant donné que $\text{[math]}$ ça converge effectivement vers 0 !

Pour le critère d'Alembert j'ai trouvé cette vidéo https://youtu.be/mOnNu7Cf5PU

Et Merci !

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