Convergence de séries entières

[Pyrrhus6]

Bonjour,

J'ai l'exercice suivant :




J'ai calculé le rayon de convergence grâce à la limite de , qui vaut 0. Donc le rayon de convergence est égal à l'infini et la réponse est a).

Pour la question 5, j'ai plus de difficultés. Cela fait longtemps que j'ai fait des séries entières et je n'avais pas encore rencontré ce cas dans les annales sur lesquelles je travaille. Comment est-ce que je procède ? Je n'ai pas le sentiment que ce soit une série entière remarquable. En revanche, si je décompose en revenant à n = 0 pour la série entière, j'arrive à et

Est-ce que ma méthode est pertinente ? Je n'arrive à aucun des résultats proposés, mais la réponse peut être e).

Pour la dernière question, je pense que le rayon de convergence est le même qu'à la question 5. La série entière est donc absolument convergente et, si je me souviens bien, une série absolument convergente est convergente. Donc la réponse est b).

Merci d'avance pour toute aide que vous pourrez m'apporter.

Pyrrhus6
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[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas compris ce que tu expliques, on dirait que tu crois que le produit de deux séries s'obtient en multipliant terme à terme. Pourtant tu as déjà multiplié des sommes.

Un changement d'indice te permettra de commencer à l'indice 0. Puis examine le DSE de exp(x) et dérive les deux membres; ça devrait te donner des idées.

Cordialement.

[Pyrrhus6]

Je suis désolée de ne pas avoir été plus claire dans mes explications. J'ai effectivement commencé par revenir à l'indice 0, j'obtiens :




Puis je ne savais pas du tout comment faire, j'avais juste les développements de série entière usuels et en les regardant, j'ai eu l'idée d'en multiplier deux qui ressemblaient... Pas du tout scientifique, certes, c'est pour ça que j'ai posté ici.

Le DSE de exp (x) est :

avec a = 1.

Je dérive exp selon x :


.


Je dérive ma première série entière selon x :




Je reconnais ci-dessus exponentielle, mais je suis désolée, ça ne me donne pas plus d'indices sur comment je dois faire par la suite.

[gg0]

Tu t'es trompé dans la dérivée de l'exponentielle. La somme ne commence pas à 0.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pyrrhus6]

Quand on dérive, on doit changer l'indice de la somme ?

Si ce n'est pas le cas, c'est que la DSE d'exp que j'ai trouvée sur internet est fausse...

[gg0]

J'ai bien parlé de la dérivation, pas du DSE.

[gg0]

Plus précisément, le premier terme du DSE de exp(x) est 1 donc la dérivée est 0 et pas comme tu l'as écrit.

[Pyrrhus6]

Ok, cela donne

Quand on revient à l'indice 0, on retrouve exp(x), ce qui est logique.

Quand on dérive la série entière initiale, on a , soit

Mais je ne sais pas quel méthode employer par la suite.

Cela fait plus de neuf ans que j'ai fait des séries entières, je m'y remets pour un concours, mais ce genre de question me perd totalement.

[gg0]

OK.

En fait, après changement d'indice, on retombe sur la formule initiale. Je t'ai envoyé sur une fausse piste (mais à priori, tu ne referas plus l'erreur).

Dériver la série dont tu cherches la somme n'a aucun intérêt, tu l'as déjà vu.

En fait, il te suffit de décomposer ta série en somme de deux séries entières. Donc son terme général en somme de deux termes. Tu n'as pas trop le choix. A connaître : Si et que les séries et convergent, alors converge vers la somme des deux autres. Donc on peut décomposer une série entière dont le TG est une somme en deux autres, si elles convergent.

Cordialement.

[Pyrrhus6]

Ok. Je dois donc décomposer en deux termes. Dans ce cas, je pense qu'il faut multiplier par n en haut et en bas. J'aurai donc , puis . En simplifiant toutes les factorielles, on se retrouve avec la somme suivante :



Et donc la réponse finale est .

Merci beaucoup !

Ça me fait beaucoup progresser sur les séries entières, cette méthode.

Bonne soirée !