TAF et limite

[math47]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire et je ne vois pas comment procéder pour construire une suite... Voici l'énoncé :

Soit f une fonction continue et dérivable sur R. On suppose que f et f' admettent chacune une limite finie en +∞, que l’on note l et l' respectivement.
Le but de l’exercice est de montrer que l' est nécessairement égale à 0.
1. En appliquant le théorème des accroissements finis à chacun des intervalles [n, n + 1], pour n parcourant N, construire une suite Cn tendant vers +∞ et telle que f'(Cn) tende vers 0.
2. Conclure.

J'ai commencé par faire un schéma de la situation. J'ai vu que dans chaque intervalle [n, n + 1], [n+1, n + 2], etc. on trouve f'(c1), f'(c2), etc.
Avec le TAF on a par exemple pour le premier intervalle (f(n+1) - f(n))/ (n+1 - n) = f'(c) ce qui donne (f(n+1) - f(n)) = f'(c) et ce pour chaque intervalle en changeant juste les valeurs n et n+1.
Le soucis c'est que je ne vois pas quoi faire de ces constatations...

Merci d'avance et bonne journée !
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[gg0]

Bonjour.

Tu as tes Cn, il te suffit de terminer en utilisant les hypothèses.

Cordialement.

[math47]

Je n'ai donc pas besoin de donner une formule explicite de (Cn) ? Comment montrer alors que f'(Cn) tend vers 0 ?

[gg0]

Sa définition : (f(n+1) - f(n)) = f'(c_n)
Tu aurais pu y penser seul puisqu'on ne sait rien d'autre sur c_n.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[math47]

Oh d'accord merci! Finalement pour conclure je peux juste dire que d'après le TAF on sait que f'(Cn) = 0 = l' ?

[gg0]

Heu ... tu plaisantes ???

Évite le baratin "à propos de l'exercice", et si tu veux un avis, rédige les réponses. Deux questions, deux baratins, ce n'est pas très sérieux.

[math47]

Soit f une fonction continue et dérivable sur R. Soient des intervalles [n, n + 1] , pour tout n appartenant à N. D'après le TAF, on a (f(n+1) - f(n))/ (n+1 - n) = f'(c1) ce qui implique (f(n+1) - f(n)) = f'(c1) puis (f(n+2) - f(n+1))/ (n+2 - (n+1)) = f'(c2) qui implique (f(n+2) - f(n+1)) = f'(c2), ... , (f(n+i) - f(n+i-1)) = f'(ci) pour i allant de 1 à (je ne sais pas combien, je ne vois pas jusqu'où aller). On obtient alors la suite (Cn) croissante non majorée, telle que : (f(n+1) - f(n)) = f'(Cn) or d'après le TAF f'(Cn) = 0. Nous savons que f(Cn) tend vers l fini en +∞ et avons montré que f'(Cn) = 0.

Qu'en pensez-vous ?

[gg0]

Quelle complication inutile :
Le TAF indique que, pour tout n il existe un c_n tel f(n+1)-f(n)= f'(c_n). Quand n tend vers l'infini, f' a une limite l' qui est donc la limite de la suite (f'(c_n))_n. D'autre part, f ayant une limite l, f(n+1)-f(n) a une limite ...

Tu n'es jamais entré dans la résolution de cet exercice, parce que tu t'es contenté de dire bêtement "d'après le TAF", comme si c'était une formule magique. Ça ne veut rien dire sauf si t(u es entrain d'appliquer le TAF. mais ça tu l'as fait déjà. Et utiliser les hypothèses de l'exercice, chercher à quoi elles servent, qui était ton travail d'élève, non, tu ne l'as pas fait ... tu comptais sur moi pour le faire ? Tu ne veux pas apprendre à devenir bon en maths (la différence entre les bons et les autres est seulement que les bons essaient ... et du coup réussissent) ?

[math47]

Le soucis est que je ne vois pas du tout quelle est la limite de f(n+1)-f(n) et comme je ne comprend pas à quoi trouver cette limite va nous mener pour démontrer ça, je ne peux même pas la deviner.
De plus, j'ai essayé de comprendre à quoi servent les hypothèses de l'exercice mais comme je ne trouvais pas, je suis venu partager mes questionnements ici.

[gg0]

Tu ne vois pas la limite de f(n) ? Ni celle de f(n+1) ?

Tu n'as jamais vu la règle assez évidente (mais que tu ferais bien de prouver avec les définitions) : "Si f a une limite L en +oo, alors la suite f(n) tend vers L quand n tend vers l'infini" ? Tu n'as pas ça dans tes cours de cette année ?

Doit-on penser que tu fais une licence scientifique mais que tu n'as pas fait la terminale S ?

Cordialement.

[math47]

Merci pour cet éclaircissement.
On peut donc dire que f(n) tend vers l et f(n+) tend aussi vers l donc f(n+1)-f(n) tend vers et cela implique que f'(Cn) tend vers 0 puisqu'on a f(n+1)-f(n) = f'(Cn) ?
En ayant dit ceci peut-on maintenant conclure en disant que si l'on a f ayant une limite l finie on aura alors f' ayant une limite l' = 0, pour tout x appartenant à R ?

[gg0]

Encore une fois, tant que ce n'est pas sérieusement rédigé (application de théorèmes, règles, définitions et calculs), ça reste du baratin. Tu as tout ce qu'il te faut pour le faire. Attention, le fait que f'(cn) ait une limite ne suffit pas, il faut que f' ait une limite (*)

(*) en +oo, sin(un) tend vers 0 pour un=n.pi, mais sin n'a pas de limite.

[math47]

Le TAF indique que, pour tout n il existe un Cn tel f(n+1)-f(n)= f'(Cn). Quand n tend vers l'infini, f' a une limite l' qui est donc la limite de la suite (f'(cn))n. D'autre part, f ayant une limite l, f(n+1)-f(n) a une limite égale à l - l = 0. Puisqu'on a f(n+1)-f(n) = f'(Cn), on a lim f(n+1)-f(n) = lim f'(Cn) et donc l - l = l' d'où 0 = l'

Qu'en pensez-vous ?

[gg0]

Cette fois-ci c'est bon, toutes les étapes y sont, et on applique bien des règles de maths.

Cordialement.

[math47]

Merci beaucoup! Et bonne fin de journée!