Origine des matrices de Pauli

[VikingStellair]

Bonjour à tous,

Je suis en Master de physique fondamentale et je suis amené à m'intéresser en mécanique quantique et en physique des particules au formalisme des groupes mathématiques, et notamment le fameux SU(2).

Ma question très fondamentale est très simple : je ne comprends pas comment historiquement (c'est une question quasi épistémologique tout compte fait) Pauli a imaginé la construction des matrices qui forment la base de SU(2). En effet, une fois qu'on a construit cette base, je comprends la quasi intégralité des résultats qui découlent de ce "quasi-axiome", mais voilà, dans tous les bouquins, on écrit "on pose les matrices de Pauli", et on énonce les principaux résultats etc.

Je connais les axiomes pour construire SU(2), mais je n'arrive pas à imaginer comment M.Pauli a pu construire une base aussi "performante" pour ce groupe là (il y a bien évidemment les versions dans les dimensions supérieures, et la même question se pose également)

Evidemment, je connais la manière de démontrer qu'une famille de vecteurs est une base pour un espace donné, mais dans le cas présent, je ne comprends pas si M.Pauli a intuité les matrices par un joli coup de génie ou les a simplement fait apparaître dans une relation "triviale" (l'utilisation du terme "trivial" est à mettre en contexte avec la relative facilité de la mise en évidence d'une telle relation)

Merci pour vos potentiels éclaircissements à ce sujet !
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[Médiat]

Bonjour,

Je ne peux pas répondre pour Pauli, mais les matrices qui portent son nom sont assez naturelles, ayant personnellement trouvé une représentation matricielle des octons dans , je suis persuadé que toute personne se posant la même question aurait eu les mêmes idées (et peut-être aurait moins tâtonné que moi)

[jacknicklaus]

Bonjour,

vu qu"on sait que les générateurs de SU(2) doivent impérativement être Hermitiens et de trace nulle, les traces (0 + 0) et (-1 + 1) s'imposent comme les plus simples. De même, sur l'autre diagonale, les (0,0), (1,1) et (i, -i) s'imposent comme les plus simples pour l'hermicité.

[Médiat]

Je développe un peu :

Penser à des matrices diagonales (dans un premier temps) me paraît naturel, du coup résoudre

et

donne rapidement 4 matrices (des solutions IR-linéairement dépendantes ne sont pas conjointement acceptables)

En faisant la même chose avec les matrices de la forme on obtient les autres

[A voir en vidéo sur Futura]

[VikingStellair]

Merci à tous les deux pour vos réponses assez claires je dirais.

Cependant, j'ai un peu de mal à comprendre votre raisonnement Médiat. En effet, la condition que vous imposez est en quelque sorte une ré-écriture dans des cas particuliers de

Cependant, je m'interroge encore sur la manière d'engendrer ces matrices, ou plutôt sur le "lot" d'axiomes sur lesquels cette base repose.

En effet, après avoir poursuivi ma lecture sur les groupes, je me suis rendu compte que le fait que la trace doive être nulle est une conséquence de l'intégration du groupe SU(2) au sein de l'algèbre de Lie me semble-t-il.

Car alors, si on ne prend pas en compte cette caractéristique de trace nulle propre aux matrices de l'algèbre de Lie et son identité de Jacobi, la base pour SU(2) (avec comme seule condition M*M' = I et det(M) = 1 (M' est ici la transposée conjuguée de M) donne un lot de matrices de trace non nécessairement nulle.

Ceci nous amène donc à différencier SU(2) et su(2) qui sont deux choses distinctes, et les matrices de Pauli sont en fait bien définies dans cette déclinaison su(2), pouvez-vous me le confirmer ?

[Médiat]

Pour moi les matrices de Pauli sont une base de l'algèbre de Clifford

[VikingStellair]

Je suis désolé, le site semble dysfonctionner quelque peu et mon message ne s'est pas entièrement affiché.. Mais je crois qu'on se comprend quand même.

[VikingStellair]

Donc les relations que vous avez écrites sur votre second message sont une traduction à l'aide des "axiomes" de cette algèbre ?

[Médiat]

Donc les relations que vous avez écrites sur votre second message sont une traduction à l'aide des "axiomes" de cette algèbre ?

Oui, tout à fait

[mtheory]

Merci à tous les deux pour vos réponses assez claires je dirais.

ça se fait sans grosse technique, une façon de voir c'est le raisonnement de Feynman https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_06.html

[mtheory]

ça se fait sans grosse technique, une façon de voir c'est le raisonnement de Feynman https://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_06.html

Une façon encore plus rapide p 232 dans le livre https://archive.org/details/FockFund.../n239/mode/2up

[mtheory]

Une façon encore plus rapide p 232 dans le livre https://archive.org/details/FockFund.../n239/mode/2up

Pauli donne une dérivation ici https://www.amazon.fr/Pauli-Lectures.../dp/B010WFHIKC

[VikingStellair]

Bonsoir mtheory,

Merci pour toutes ces références.

Cordialement.