Spectre d'un opérateur et mesures spectrales

[invite256664ae]

Bonjour,
Si:
On sait que [\mu_u=||u||^2*\delta_0]
On considère la projection orthogonale de l'opérateur H sur l'ensemble {0}, notée E=E_{0}.
Je sait qu'alors u=Eu (par une propriété du cours)
Comment en déduit-on que u appartient au Domaine de H ?
Merci d'avance pour votre aide
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[invite256664ae]

Bonjour,

Je précise:
\mu_u est la mesure spectrale de l'opérateur H associée au vecteur u (par définition, c'est une mesure de Borel sur R (ensemble des réels) telle que <(H-z)⁻¹u,u>=\int 1/(t-z) d\mu_u(t), Im(z)\neq 0 (l'intégrale est sur R).
(H-z)⁻¹ : F --> Domaine de H est parfois appelé R_z, c'est l'opérateur résolvant de H.
Une propriété de cette mesure: \mu(R) inférieur ou égal à ||u||².

u est un vecteur de F.

delta_0 est la mesure de Dirac en 0.

H est un opérateur sur l'espace F (espace de Hilbert complexe et séparable), défini ainsi: H va de {domaine de H} dans F.

Je veux montrer que si je prends un u dans F, et que je suppose que \mu_u=||u||²*\delta_{0},alors u est dans le domaine de H.