Équivalent de cos(xn)^n quand xn tend vers 0

[cheezburger]

Bonjour,

J'ai une erreur de raisonnement que je ne comprends pas et j'aurais besoin d'aide.

J'ai une suite (x[n]) équivalente à 1/sqrt(n) lorsque n tend vers l'infini.

Je dois trouver un équivalent de cos(x[n])^n.

Pourquoi je n'ai pas le droit de dire que :

Puisque x[n] tend vers 0, cos(x[n]) tend vers 1 donc comme 1 est une limite finie non nulle, cos(x[n]) est équivalent à 1.
On peut mettre à la puissance des équivalents. J'obtiens donc cos(x[n])^n équivalent à 1^n = 1.

Mais au lieu de ça, la réponse passe par du ln de cos et donne un résultat en 1/racine d'exp.

Qu'est ce qui cloche dans mon raisonnement ça me perturbe ? Merci si quelqu'un à la sympathie de m'expliquer.
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[gg0]

Bonjour.

Ton erreur est dans la phrase trop rapide : "On peut mettre à la puissance des équivalents". La règle parle de puissances fixée : cos(x[n])^5 équivalent à 1^5 = 1.
En fait, comme cos(x[n]) n'est pas tout à fait égal à 1, quand on l'élève à un puissance, ça l'éloigne de 1. Tout va donc dépendre de la façon dont ça l'éloigne quand n augmente pendant qu'il se rapproche de 1 quand n augmente. équivalent à 1 ne veut pas dire égal à 1.
Par exemple (1+1/n)^n va tendre vers e.

En général, ces limites de fonctions avec des puissances variables se traitent bien justement en passant aux log, avec la définition générale des puissances : Pour a>0, a^b=exp(b ln(a)).

Cordialement.

[cheezburger]

Ok. Mon erreur devait être très classique je suppose.

Merci en tout cas pour votre réponse rapide, la relecture de la propriété en question et votre explication me font comprendre mon erreur. Effectivement si n tend vers l'infini ce n'est plus un réel et la propriété f équivalent à g implique f^a équivalent à g^a ne s'applique pas.

[gg0]

Oui, c'est tellement classique que la même erreur apparaît dans une discussion en cours, et j'ai renvoyé à celle-ci. C'est la classique "forme indéterminée"

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]