Déterminer une base de l'image d'une application linéaire

[invite7fb2d7fa]

Bonjour,

Je dois trouver une base de l'image de l'application linéaire suivante.



Pour déterminer une base de l'image d'une matrice je dois l'échelonner et extraire les colonnes pivots de la matrice.

Dans le solutionnaire on indique que le système sera compatible si a = b + c -d

Je n'arrive pas à comprendre comme arriver à cette solution.

J'ai essayé d'échelonner la matrice augmentée suivante.



Cependant, je ne crois pas que c'est ce qu'il faut faire.
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[gg0]

Bonjour.

A priori, une première chose à faire est de déterminer la dimension de cette image (le rang de T). On trouve 3, donc les 4 coefficients de T(P) ne sont pas indépendants, et un essai rapide montre que (a₀+a₂)-(a₀+a₃)-(a₁+a₂)+(a₁+a₃)=0. Ce qui est traduit par ton a=b+c-d.
On peut aussi travailler avec la matrice 4x4 de T dans les bases canoniques.

Cordialement.

[invite7fb2d7fa]

Ah, je vois. Merci pour votre aide.