Exponentielle de matrices

[invite2b4cfb68]

Bonjour à tous,

Toujours dans mes lectures sur les groupes, il y a une propriété mathématique très intéressante que l'on utilise pour démontrer que les matrices Ta sont les générateurs de su(3), à savoir det[exp(A)] = exp(tr[A]) qui serait un théorème du à Jacobi.

Je n'ai pas énormément cherché par moi même, mais ce théorème ne me paraît pas si trivial à démontrer et je n'ai pas trouvé de preuve satisfaisante sur la Toile.

Si quelqu'un pourrait m'éclairer sur la façon de démontrer ce théorème (pas forcément une preuve intégrale je veux dire), ça m'aiderait beaucoup !

Merci.
-----

[jacknicklaus]

Bonjour,

en gros :

Si A est une matrice de Mn(C) A est trigonalisable
A = P^-1.B.P avec, B matrice triangulaire de diagonale (b1, ..., bn)
e^A = P^-1.e^B.P = P^-1.Z.P où Z est matrice triangulaire de diagonale (...e^bn...)
dont le déterminant est les produit des e^bn = exp(trace A)

[invite2b4cfb68]

Super ! Merci.

Une remarque, toute matrice est de plus diagonalisable dans C si je ne me trompe pas (Théorème de d'Alembert) ?

[invite23cdddab]

Non : Il existe des matrices nilpotentes dans C, et ces dernières ne peuvent pas être diagonalisables

[A voir en vidéo sur Futura]