Petite question sur les idéaux

[Itachi11]

Bonsoir,
S'il vous plaît j'aimerais savoir dans quelles conditions on a AnB = AB. Lorsque A et B sont des idéaux.
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[gg0]

Bonjour.

J'interprète comme l'ensemble des pour quelconque dans et quelconque dans .
Tu voudrais avoir et . Si la multiplication est commutative, l'une de ces inclusions est évidente. Est-ce ton cas ? (je l'ai supposé car tu as parlé d'idéaux, pas d'idéaux à droite ou d'idéaux à gauche).

Donc déjà circonscrire le problème en disant dans quel type d'anneau tu te places. Puis explique l'inclusion évidente.

Cordialement.

[Itachi11]

Bonjour
en fait AB designe l'ideal produit des idéaux A et B.C'est à dire l'ensemble des sommes finies de produits d'elements de A et B. On est dans un anneau commutatif et effectivement AB©AnB est une inclusion triviale. Désolé de n'avoir pas été très clair.

[gg0]

OK !

Bon, l'algèbre n'est pas ma spécialité, j'en ai fait très peu, et encore moins des exercices sur les anneaux.
Dans ta définition d'anneau il y a l'existence d'un élément neutre pour la multiplication (anneau=anneau unitaire), j'imagine, puisque tu dis que l'inclusion est triviale.
Il te reste à montrer , éventuellement avec des conditions. Les exemples élémentaires dans montrent que c'est vrai pour <5> et <7>, pas pour <6> et <9> voire <6> et <9> (vérifie mes affirmations). Ce qui inciterait à aller voir du côté des idéaux premiers. Je te laisse continuer, mon dernier cours sur les anneaux date de plus de 50 ans !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fartassette]

Bonjour,
Effectivement, il s'agit bien d'un anneau commutatif muni de (A,+,X).Si on note que que X+Y = A alors X+Y et XY sont encore des idéaux de A.
Maintenant si j'écris que X+Y=1...? une décomposition souvent utilisée pour ce genre d'exercice
Pour mémoire, ce type d'idéaux sont dit étrangers l'un à l'autre .(j'ai changé la notation)
Bonne journée!

[Itachi11]

Merci beaucoup pour la réponse

[Itachi11]

Bonsoir
Oui je connais bien les idéaux comaximaux ou étrangers mais s'il vous plaît je ne vois pas bien ou vous voulez en venir? Est ce que les idéaux comaximaux verifient toujours cette condition ?
Merci

[fartassette]

Bonsoir ,

On travaille bien entendu dans les anneaux commutatifs unitaire.
Si X+Y=A alors x€X et y €Y tels que x+y=1(sa découle du lemme chinois si tu connais)
Si X et Y sont étrangers alors l'égalité que tu enonces est vérifiée.
Je ne vois rien d'autre..

Cordialement,

[Itachi11]

Ok merci bien