Espaces vectoriels normés

**Itachi11** · 16/05/2021, 19h53

Bonsoir
S'il vous plaît j'aurais 2 question à ce sujet.
On sait que dans un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont equivalentes. Mais dans le cours que je lis il est dit qu'il suffit de faire la preuve pour E=R^n pour conclure. Ce que je ne comprends pas bien. Est ce parceque tout espace vectoriel normé de dimension finie n est homeomorphe à R^n? Dans ce cas ça voudrait dire que l'équivalence des normes sur un espace vectoriel normé est une propriété topologique ?

Ensuite ma deuxième question est:
Puisque toute les normes sont equivalentes sur un espace vectoriel normé. Lorsque je veux montrer que toute application linéaire de d'un ev normé de dimension finie E dans un ev normé de dimension finie F est tjrs continue quelque soit les normes, est ce que j'ai le droit de choisir des normes particulières pour munir E et F et faire la démonstration ?

Et enfin, est ce que je peux dire qu'un sous espace de dimension finie A d'un espace vectoriel normé E est fermé, Car A sera homeomorphe à R^p ou p=dimA. Or R^p est un ev normé il est donc fermé d'où A est fermé ?

Une petite dernière est ce que la complétude est une propriété topologique ?

Merci d'avance 🙏

**gg0** · 16/05/2021, 20h30

Bonjour.

Tu as implicitement supposé que ton espace vectoriel est sur $\R$ . Ce sera supposé dans ce qui suit (bien qu'on pourrait prendre le cas des espaces vectoriels complexes)
Tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe à $\R^n$ . Choisissons un isomorphisme f entre E et $\R^n$ . Il permet de définir une norme N' sur $\R^n$ ainsi : Si $x \in\R^n$ , alors $N'(x) = N(f^{-1})$ où N est la norme sur E. Je te laisse justifier complétement que N' est une norme, que si N et M sont des normes sur E, les normes associées N' et M' sont équivalentes et que ça justifie que N et M sont équivalentes.
Le fait que toutes les normes sur E sont équivalentes a une conséquence topologique utile : Elles définissent toutes la même topologie. Dans ce sens, tu peux dire que c'est topologique, mais le résultat que je viens de donner est nettement plus fort.

Et une application immédiate est que la réponse à ta deuxième question est "oui". D'ailleurs les preuves de ce résultat ne s'en privent pas !

Pour ta troisième question, le résultat est vrai, mais ta preuve fautive : Tu ne démontres qu'une seule chose : le sev A, de dimension finie, est fermé dans A (ce qui est une évidence !!). Reste à montrer qu'il est fermé dans E.

Enfin, dernière question : la complétude n'a de sens que s'il y a une distance, donc c'est une propriété métrique. Pas topologique.

Cordialement.

NB : Tu aurais facilement pu trouver ces réponses sur Internet !! Par exemple pour la complétude, tape, sur ton moteur de recherche préféré "topologie complétude".

**Itachi11** · 16/05/2021, 21h01

Merci beaucoup je me met au travail.��

**Itachi11** · 17/05/2021, 07h56

Bonjour,
Voici mes justifications. S'il vous plaît j'aimerais savoir si c'est juste. Je doute un peu sur la fin.
Merci

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 17/05/2021, 09h21

Oui, c'est élémentaire. Pourquoi doutes-tu ?
En général, on doute quand on n'est pas clairement en train d'appliquer une règle de maths (définition, théorème, propriété, critère, formule, ..); il suffit de rechercher quelle règle on applique, ou une démonstration de ce qu'on a envie d'écrire.
En fait, ce doute est normal : la fin est mal rédigée car tu n'es pas parti de N et M et d'un x de E. Si tu l'écris dans le bon sens (démontrer que pour tout x il existe k et k' tels que ...), donc en partant de x, tu ne devrais plus avoir de doute.

Cordialement.

**Itachi11** · 17/05/2021, 10h50

Merci j'ai bien compris

Espaces vectoriels normés