Composition de développements limités

[Marmus1021]

Bonjour ! J'ai vu que si on a deux fonctions f et g qui admettent chacune un développement limité à l'ordre n en 0, alors si g(0) = 0, on peut trouver le développement limité de f o g en prenant les termes de degré inférieurs ou égaux à n dans la composition de f avec g.
Par exemple on trouve le DL de 1/(1+x) à partir de celui de 1/(1-x), et en composant ensuite par -x.
Mais pour 1/(1+x²), on compose par x², et on garde dans le résultat final des termes de degré 2n, alors que dans la proposition il ne faut prendre que ceux inférieurs ou égaux à n. Je ne comprends pas pourquoi... Ce n'est plus un développement limité à l'ordre n du coup, mais à l'ordre 2n ?
-----

[gg0]

Bonjour.

Dans ce cas-là, la bonne idée n'est pas la composition des DL, mais le changement de variable : Tu poses x²=t, tu développes 1/(1+t), puis tu remplaces.

En fait, ton théorème de composition des DL est loin d'être optimal, il convient bien si g(x) est équivalent à ax avec a non nul, mais moins bien si g(x) est équivalent à ax^p pour p>1.

Cordialement.