Bonjour à tous

Je travaille sur un programme, et pour une partie de l'automatisation j'ai transformé mon problème en une équation de la forme x²+xy-ay+b=0, avec a et b deux coefficients entiers. Je cherche un couple de solutions entières (x,y). J'avais trouvé une solution via le parcours sur Z pour x et en "cherchant" une solution entière pour y, cela marche bien pour des petits coefficients a et b, mais dès que je les monte un peu c'est trop hasardeux. J'essaye du coup de trouver une solution analytique plus efficace.

Je me suis du coup intéressé aux équations diophantienne du second degré, mais mon équation ne colle pas à la forme "canonique" ax²+bxy+cy²=d. J'ai trouvé une alternative dans le dictionnaire de mathématiques :
Généralités sur le second degré
La résolution en entiers de :
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + k = 0,
équation de conique à coefficients entiers,
n’est intéressante que dans les cas parabolique
ou hyperbolique. L’étude en a été faite
par Euler et Lagrange.
Le souci est que l'explication sur la résolution est quelque peu lapidaire. Je suis dans le cas hyperbolique, mais l'équation est transformé :
Dans le cas hyperbolique, on se ramène
au centre de coordonnées rationnelles
, et on pose
, qui
conduit à :
aX²+bXY+cY²=m.
Le cas b²- 4 ac = D carré parfait
fournit :
De là ils tirent des systèmes linéaires.

A défaut d'une explication, auriez-vous un lien vers une explication assez détaillé pour que je puisse l'implémenter, mon vrai soucis est le passage de l'équations de coniques, à la forme "classique" : aX²+bXY+cY²=m. Je comprends la résolution sur les cas plus simple, mais là ils me manquent certaines étapes

En espérant que quelqu'un pourra m'apporter ces lumières.